logaritmer

[solhoff]

Bruk regnereglene for logaritmer til å forenkle uttrykket:

[tex]ln[(2x+1)^3(x^2-4)^4][/tex]


Jeg vet at [tex]ln (uv) = ln u + ln v[/tex] og at [tex]ln (u^r) = r*ln u[/tex], men jeg ser ikke helt hvordan jeg får uttrykket til å bli enklere..



Jeg finner ut at (tror jeg):

[tex]ln[(2x+1)^3(x^2-4)^4]=[/tex]

[tex]ln(2x+1)^3 + ln(x^2-4)=[/tex]

[tex]3*ln(2x+1) + 4*ln((x+2)(x-2))[/tex]

Så stopper det opp.. hvordan får man det enklere? er forsåvidt ikke sikker på om det er riktig så langt..

[sEirik]

[tex]\ln \[(2x + 1)^3(x^2-4)^4\][/tex]

Vi kan her bruke regelen [tex]\ln ab = \ln a + \ln b[/tex]. Den gjelder imidlertid kun hvis båre a og b er positive. Det er fullt lovlig å ta logaritmen til produktet av to negative tall, for det blir jo et positivt tall. Men da kan man ikke bruke denne regelen.
Men vi ser at den ene faktoren er opphøyd i fjerde potens, altså må den nødvendigvis være positiv. Da må den andre faktoren også være positiv, for ellers ville produktet blitt negativt, og det er ikke lov å ta logaritmen av negative tall. Da kan vi bruke regelen.

[tex]\ln (2x + 1)^3 + \ln (x^2 - 4)^4[/tex]

Når [tex](2x + 1)^3[/tex] er positivt, vet vi at [tex](2x + 1)[/tex] også er positivt, altså kan vi bruke regelen [tex]\ln a^b = b \cdot \ln a[/tex].

[tex]3 \cdot \ln (2x + 1) + \ln (x^2 - 4)^4[/tex]

Vi vet ennå ikke om [tex](x^2 - 4)[/tex] er positivt eller negativt, altså kan vi ikke bruke den siste regneregelen her. Det eneste vi vet er at [tex]2x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}[/tex]. Men uttrykket [tex](x^2 - 4)[/tex] med x > -0.5 er negativt i [tex]\[-\frac{1}{2}, 2>[/tex], så vi kan ikke bruke regelen sikkert.

Derimot kan vi faktorisere litt.

[tex]3 \cdot \ln (2x + 1) + \ln \[((x+2)(x-2))^4\][/tex]

[tex]3 \cdot \ln (2x + 1) + \ln \[(x+2)^4(x-2)^4\][/tex]

Vi vet at potenser med partallseksponent alltid er positive, derfor kan vi bruke produktregelen her.

[tex]3 \cdot \ln (2x + 1) + \ln (x+2)^4 + \ln (x-2)^4[/tex]

Siden x > -0.5, vil x + 2 alltid være positivt. Da kan vi bruke regelen for å trekke ned eksponenten.

[tex]3 \cdot \ln (2x + 1) + 4 \cdot \ln (x+2) + \ln (x-2)^4[/tex]

Vi vet ikke om (x-2) er positiv eller negativ, så vi kan ikke trekke ned eksponenten her. Men vi kan skrive på en annen måte:

[tex]3 \cdot \ln (2x + 1) + 4 \cdot \ln (x+2) + \ln ((x-2)^2)^2[/tex]

Vi vet at [tex](x-2)^2[/tex] alltid er positivt. Da kan vi bruke regelen for å trekke ned eksponenten:

[tex]3 \cdot \ln (2x + 1) + 4 \cdot \ln (x+2) + 2 \cdot \ln (x-2)^2[/tex]

Nå ser jeg ikke noe mer som kan gjøres.