Derivasjon

[Triumph]

Har en oppgave som lyder

Finn første og andre derivat av følgende funksjon

f(x)=(e[sup]-x[/sup]) / (e[sup]-x[/sup]+1)

[Magnus]

Bare å fyre på med kvotientregelen:

[tex]f(x) = \frac {e^{-x}}{e^{-x} +1}[/tex]

[tex]f^{\prime}(x) = \frac {-e^{-x}*(e^{-x} +1)-e^{-x}*(-e^{-x})}{(e^{-x}+1)^2}[/tex]

Hvis du ikke skjønner hva som skjer så anbefaler jeg at du leser i boka di.

[Triumph]

Jeg har nok vanskelig for å behandle uttrykk med e-tallet Beklager det, men jeg finner ikke noen eksempler på derivasjon med e i boka mi, og jeg forstår rett og slett ikke hva som skjer. Kan noen forklare meg hvordan det blir, både med første og andre derivasjonen?

[holroy]

Jeg har nok vanskelig for å behandle uttrykk med e-tallet Beklager det, men jeg finner ikke noen eksempler på derivasjon med e i boka mi, og jeg forstår rett og slett ikke hva som skjer. Kan noen forklare meg hvordan det blir, både med første og andre derivasjonen?

Det som skjer er en kombinasjon av kvotientregel, kjerneregel og den deriverte til e[sup]x[/sup]. Se derivasjonsregler for definisjoner av de enkelte.

[tex]f(x)= e^{-x}[/tex], bruker kjerneregel med [tex]u=-x[/tex], og [tex]g(u)=e^u[/tex]
[tex]f^{\prime}(x)= u^{\prime} g^{\prime}(u) = -1 e^{-x}[/tex]

Videre bruker vi kvotientregel på hele uttrykket:
[tex]f(x) = \frac {e^{-x}}{e^{-x} +1}=\frac{u}{v}[/tex]

[tex]f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2} =\frac {-e^{-x}*(e^{-x} +1)-e^{-x}*(-e^{-x})}{(e^{-x}+1)^2}[/tex]

Og så er det bare å forenkle i vei, og gjenta hele prosessen for den 2. deriverte...

Vennlig hilsen
Even Holen