Lagranges metode

[Minnie]

En bedrift har produktfunksjonen P(x,y) = 5x^(2/3)y^(1/3) der x er antall enheter kapital og y er antall enheter arbeid som benyttes i produksjonen. Kostnadene ved prod. er gitt ved K(x,y) = 4x+2y

a) Beregn prod. P0 = P(64,27) og kostnad K0 = K(64,27)

b)Trolig er ikke produksjonen ved a optimal i den forstand at en kan produsere like mye som under a, men til lavere kostnad, men til lavere kostnad. Dette leder til problemet minimer K(x,y) når P(x,y) = P0. Løs minimeringsproblemet vha Lagranges metode, og regn ut evt kostnadsbesparelse i prosent

c) Anta at prisen på kapital endres med p% slik at kostnadsfunksjonen endres til K(x,y) = 4(I+r)x+2y der r = p/100, og anta at det skal produseres P0 enheter som under a. Finn minste kostnad C(r) uttrykt ved r

takknemlig for hjelp

[Janhaa]

En bedrift har produktfunksjonen P(x,y) = 5x^(2/3)y^(1/3) der x er antall enheter kapital og y er antall enheter arbeid som benyttes i produksjonen. Kostnadene ved prod. er gitt ved K(x,y) = 4x+2y

a) Beregn prod. P0 = P(64,27) og kostnad K0 = K(64,27)

b)Trolig er ikke produksjonen ved a optimal i den forstand at en kan produsere like mye som under a, men til lavere kostnad, men til lavere kostnad. Dette leder til problemet minimer K(x,y) når P(x,y) = P0. Løs minimeringsproblemet vha Lagranges metode, og regn ut evt kostnadsbesparelse i prosent

c) Anta at prisen på kapital endres med p% slik at kostnadsfunksjonen endres til K(x,y) = 4(I+r)x+2y der r = p/100, og anta at det skal produseres P0 enheter som under a. Finn minste kostnad C(r) uttrykt ved r

takknemlig for hjelp

------------------------------------------------------------------

Jeg har sett litt på oppgava di, er du sikker på at

P(x, y) = 5x[sup]2/3[/sup]y[sup]1/3[/sup] ?3

og ikke P(x, y) = 5x[sup]2/3[/sup] [symbol:plussminus] y[sup]1/3[/sup]

For førstnevnte funksjon får jeg x = y = 0, og der er merkelig...

[Minnie]

Hei igjen. Ja, er sikker på at det ikke er noe pluss i mellom der. Kommer liksom ikke noen vei med denne oppgaven da....

[Janhaa]

En bedrift har produktfunksjonen P(x,y) = 5x^(2/3)y^(1/3) der x er antall enheter kapital og y er antall enheter arbeid som benyttes i produksjonen. Kostnadene ved prod. er gitt ved K(x,y) = 4x+2y
a) Beregn prod. P0 = P(64,27) og kostnad K0 = K(64,27)
b)Trolig er ikke produksjonen ved a optimal i den forstand at en kan produsere like mye som under a, men til lavere kostnad, men til lavere kostnad. Dette leder til problemet minimer K(x,y) når P(x,y) = P0. Løs minimeringsproblemet vha Lagranges metode, og regn ut evt kostnadsbesparelse i prosent
takknemlig for hjelp

a)

P(64, 27) = 240
K(64, 27) = 310


b)

[tex]\nabla K\;=[/tex][tex]\;\lambda \nabla P[/tex]

(1): K[sub]x[/sub]' = (lambda)P[sub]x[/sub]'

(2): K[sub]y[/sub]' = (lambda)P[sub]y[/sub]'

(3): P(x, y) = 240


(1): 4 =[tex]\;\lambda{10\over 3}({y\over x})^{1/3}[/tex]

(2): 2 =[tex]\;\lambda{5\over 3}({x\over y})^{2/3}[/tex]

sett (1) = (2):

[tex]\lambda({y\over x})^{1/3}[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]\lambda({x\over y})^{2/3}[/tex]

som gir at x = y

Setter så dette inn i (3):

(3) P(x, y) = 5x[sup]2/3[/sup]y[sup]1/3[/sup] = 5x[sup]2/3[/sup]x[sup]1/3[/sup] = 240 = 5x

altså x = 48 = y

Dvs. P(48, 48) = 240, som er lik i a),

men K(48, 48) = 288 < K(64, 27) = 310

Altså kostnadsbesparelse på 7.1%