Finne maks og min verdier over ett gitt Område.

[SNURRE]

Hei.
Dette er funksjonen jeg jobber med: [tex]f(x,y) = -ye^y(2x^2 -0.5x)[/tex]

Jeg har de partiell deriverte av 1. orden:

[tex]F_x(x,y) = -ye^y(2x^2-0.5)[/tex]
[tex]F_y(x,y) = -e^y(1+y)(2x^2-0.5x)[/tex]

Jeg har så funnet stasjonær punktene:
[tex](0,0) ( 0.25, 0) ( 0.125,-1)[/tex]

Oppgaven min nå lyder som følger:
" La S være mengden gitt ved: [tex]S ={(x,y):0 <= x <= 4, -2<=y<=2}[/tex]
Begrunn hvorfor [tex]f(x,y)[/tex] oppnår både minimumsverider, og maksimumsverdier over området S, og finn optimumspunktene."

Her står jeg dessverre fast, og vet ikke hvordan jeg skal gjøre oppgaven videre? Setter stor pris på hjelp!
Mvh Snurre!

[Vektormannen]

Ser du for deg hvordan området S ser ut? Det oppgis at S er alle punkter som har x-verdi mellom 0 og 4, og y-verdi mellom -2 og 2. Det vil si at området er alle punkter som ligger innenfor, og på firkanten med hjørner i (0,-2), (0, 2), (4, -2) og (4,2) (tegn deg en liten skisse.)

Nå er jeg ikke helt sikker på hva som menes med et optimumspunkt. Hvis det er de globale minimum og maksimumene du skal finne, så har du i alle fall funnet noen kandidater allerede, nemlig de stasjonære punktene. Men det kan også være min- eller maks på kantene av firkanten. Disse må du også finne. Det kan du gjøre ved å ta for deg hver kant for seg.

Firkanten vil ha én sidekant som starter i (0,-2) og slutter i (4,-2), altså en sidekant som er parallell med x-aksen. Langs denne sidekanten forandrer ikke y seg, men x går fra 0 til 4. Langs denne kanten blir funksjonen altså kun avhengig av x, og den ser da slik ut:

[tex]f(x, -2) = -2e^2(2x^2-0.5x)[/tex]

Tenk på dette som at vi har "låst" y til å være -2, og ser kun hva som skjer med funksjonen når x forandres. Det du må gjøre nå, er å finne når denne funksjonen av x er minst og størst. For å gjøre dette kan du selvsagt bruke alle de metodene du er vant med fra derivasjon av envariable funksjoner.

Du må gjenta samme prosedyre for de tre andre sidekantene. Til slutt, når du har funnet alle mulige min/maks-punkter, er det i grunn bare å regne ut funksjonsverdiene og se hvilke som er størst eller minst. Husk da å også sammenligne med de stasjonære punktene.

[SNURRE]

Hei.
Takk for svar. Fikk ikke sett på dette i helgen. Men er i gang med oppgaven nå!

Ser for meg firkanten med punktene som du har nevnt!

Men jeg skjønner ikke helt hvordan jeg skal gå frem dette.
Hvordan blir funksjonene jeg skal bruke, og hvordan setter jeg de opp?

Setter stor pris på hjelpen!

[Vektormannen]

Jeg har allerede vist deg hvordan du skal gå frem for å sjekke sidekanten der y = -2. Har du fått til dette?

For de andre sidekantene må du bare tenke -- hvilken koordinat er det som varierer og hvilken er det som holder seg konstant? Hvis du for eksempel ser på den vertikale sidekanten lengst til venstre, så går denne mellom punktene (0,-2) og (0, 2). Der ser vi at x ikke forandrer seg (sidekanten er jo vertikal), mens y går fra -2 til 2. Så alle punkter på formen (0,y) der y er mellom -2 og 2, vil være på denne kanten. Da blir funksjonen seende slik ut på kanten: f(0,y). Igjen blir dette en funksjon av én variabel (y), og du kan bruke alt det du kan om å finne min- og maks. for envariable funksjoner.

[SNURRE]

Okey, da ble det noe mere klart

Stemmer det da, at det er disse 4, funksjonene jeg skal bruke ?

[tex] f(x,-2) =-(-2)e^-2(2x^2,0.5x)[/tex]
Jeg ser du skrev den som : [tex]2e^2(2x^2 -0.5x)[/tex] Hva har jeg gjort feil her?
[tex]f(x,2) = 2e^2(2x^2 -0.5x)[/tex]
[tex]f(0,y) = -ye^y(2*0-0.5*0)[/tex]
[tex]f(4,y) = -ye^y(2*4-0.5*4)[/tex]

Skal jeg nå derivere hver av disse, og sette det = 0 for å finne maks/min verdi?

[Vektormannen]

Ja, det ser riktig ut!

Bare pass på å ignorere eventuelle punkter som du finner utenfor firkantens grenser (altså x utenfor 0 og 4, eller y utenfor -2 og 2.)

[SNURRE]

Ja, det ser riktig ut!

Bare pass på å ignorere eventuelle punkter som du finner utenfor firkantens grenser (altså x utenfor 0 og 4, eller y utenfor -2 og 2.)

Så var det det å derivere disse funkjsjonene da..
Denne Parantesen gjør meg usikker på om jeg skal bruke kjerneregelen, eller produktregelen ?

Om du har mulighet til å vise meg hvordan du gjør en av dem skal jeg se om jeg får til de 3 andre!

[Vektormannen]

Det var bare en skrivefeil fra min side. Det skal være [tex]2e^{-2}[/tex].

I f(x,-2) og f(x,2) så har du konstanter ganger en parentes. Da kan du sette parentesene utenfor og bare derivere det inni parentesen.

I f(0,y) og f(4,y) har du en konstant (det du får inni parentesen når du regner ut) ganger [tex]ye^y[/tex], og den har du jo derivert før.

I dette tilfellet kan du også bruke de partiellderiverte du har funnet tidligere. Da bruker du den partiellderiverte som gir deg stigning i riktig retning for hver av firkantens sider. For eksempel vil [tex]f_y(0,y)[/tex] gi deg stigning langs sidekanten fra (0,-2) til (0,2).

[SNURRE]

Det var bare en skrivefeil fra min side. Det skal være [tex]2e^{-2}[/tex].

I f(x,-2) og f(x,2) så har du konstanter ganger en parentes. Da kan du sette parentesene utenfor og bare derivere det inni parentesen.

I f(0,y) og f(4,y) har du en konstant (det du får inni parentesen når du regner ut) ganger [tex]ye^y[/tex], og den har du jo derivert før.

I dette tilfellet kan du også bruke de partiellderiverte du har funnet tidligere. Da bruker du den partiellderiverte som gir deg stigning i riktig retning for hver av firkantens sider. For eksempel vil [tex]f_y(0,y)[/tex] gi deg stigning langs sidekanten fra (0,-2) til (0,2).

Okey, da skal jeg prøve meg. Men jeg føler meg ikke helt stødig på derivasjonen. Hva gjør jeg med konstanten i f(x,-2) og f(x,2) Lar jeg den bare stå?
Så det blir slik:
[tex]f(x,-2) = 2e^-2(2x^2-0,5x)[/tex]
[tex]f_(x,-2) = 2e^-2(2x^2-0.5x)*4x-0,5[/tex]
[tex]f_(x,-2) =4x-e^-2(2x^2-0,5x)[/tex]

Huff.. dette har jeg ikke taket på =/

[Vektormannen]

Ja, en konstant lar du stå utenfor derivasjonen. Da får du: [tex]f^\prime(x,-2) = (2e^{-2}(2x^2 - 0.5x))^\prime = 2e^{-2}(2x^2 - 0.5x)^\prime = 2e^{-2}(4x-0.5)[/tex]

[SNURRE]

Ja, en konstant lar du stå utenfor derivasjonen. Da får du: [tex]f^\prime(x,-2) = (2e^{-2}(2x^2 - 0.5x))^\prime = 2e^{-2}(2x^2 - 0.5x)^\prime = 2e^{-2}(4x-0.5)[/tex]

Da kommer jeg frem til disse derivasjonene.
[tex]f_(x,-2) = 2e^{-2}(4x- 0.5)[/tex]
[tex]f_(x,2) = -2e^{-2}(4x-0,5)[/tex]
[tex]f_(0,y) = -e^y(1+y)[/tex]

Hvordan behandler jeg konstanten i dette tilfellet, tenker det som blir inne i paratesen blir jo 6..?
[tex]f_(2,y) = -e^y(1+y) (6)[/tex]

[Vektormannen]

Hva mener du med hvordan du behandler den? Det blir bare [tex]-6e^y(1+y)[/tex]. Men pass på, i [tex]f^\prime(0,y)[/tex] så får du bare 0, siden det i parentesen blir 0.

[SNURRE]

Hva mener du med hvordan du behandler den? Det blir bare [tex]-6e^y(1+y)[/tex]. Men pass på, i [tex]f^\prime(0,y)[/tex] så får du bare 0, siden det i parentesen blir 0.

Skjønner da hvordan det ble

Hva mener du med [tex]f^\prime(0,y)[/tex] skal jeg la den stå slik jeg har skrevet den opp? Eller skal jeg gange -e^y med 0 og dermed fjerne den?

Litt usikker på hvordan jeg kvitter meg med e, når jeg skal få satt disse funksjonene = 0?
Men du har hjulpet meg veldig mye nå, setter stor pris på det!
Skal se om jeg klarer det på egenhånd i løpet av dagen, så skal jeg poste resultatet her i morgen tidlig

[SNURRE]

Da har jeg gjort noen forsøk, men kommer ikke helt i mål.

Forsøkene er som følger:

[tex]f`(x,-2) = 2e^{-2}(2x^2-0,5x) = 0[/tex]
Jeg vet ikke hvordan jeg går videre men har prøvd slik:
[tex]f`(x,-2) = 2x^2-0,5x = -2e^{-2}[/tex]
Her sier det stopp..

[tex]f`(x,2) = -2e^2(4x-0,5) = 0[/tex]
Slik har jeg prøvd meg:
[tex]f`(x,2) = 4x -0,5 =2e^2[/tex]
[tex]f`(x,2) = x = 2e^2+0,5x /(4)[/tex]

[tex]f`(0,y) = -e^y(1+y) = 0[/tex]
Slik har jeg prøvd meg:
[tex]f`(0,y) = 1+y = e^y[/tex]
[tex]f`(0,y) = y = e^y -1[/tex]

[tex]f`(4,y) = -30e^y(1+y)[/tex]
Jeg vet ikke hvordan jeg skal løse den?

J
Setter stor pris på hjelp! Må nemeig levere inn denne oppgaven i løpet av de neste dagene!

[Vektormannen]

Jeg vet ikke helt hva du har tenkt, men det er ikke riktig.

Når du har at et produkt av to eller flere faktorer skal være lik 0, da må en av faktorene være 0. Hvis jeg ganger sammen noen tall og får 0, da må et av tallene være 0. Det er ikke mulig å gange sammen tall som ikke er 0, og få ut 0 som produkt.

Dette kan du utnytte her. Du har f.eks. [tex]2e^{-2}(2x^2 - 0.5x) = 0[/tex]. Dette er et produkt av tallene 2, [tex]e^{-2}[/tex] og [tex]2x^2 - 0.5x[/tex] (parentesen betyr at det inni grupperes til én faktor.) Verken 2 eller [tex]e^{-2}[/tex] er lik 0. Men faktoren [tex]2x^2 - 0.5x[/tex] kan bli 0, og du må finne x slik at det er tilfelle. Altså -- du må løse [tex]2x^2 - 0.5x = 0[/tex]. Det har du gjort en gang før i sammenheng med å finne de stasjonære punktene.

Dette samme prinsippet må du bruke på de andre også.