Et av teoremene jeg har støtt på lyder som følger:
- A subset of [tex]\mathbb{R}[/tex] is open if and only if it is the union of countably many disjoint open intervals in [tex]\mathbb{R}[/tex].
Jeg har sett et bevis for dette, og henger sånn passe med i beviset, men sånn i utgangspunktet klarer jeg ikke helt å intuitivt forstå at dette kan stemme. Dersom man f.eks. har det åpne intervallet (0,100) og dette må være en union av et tellbart antall disjunkte åpne intervaller, hva om jeg da deler intervallet i de disjunkte intervallene (0,1), (1,2), (2, 3). . .osv, helt til (99,100). Da vil jo alle heltallene forsvinne! Så hvordan kan dette teoremet i det hele tatt stemme? Jeg forstår jo at man i beviset deler dette i uendelig mindre intervaller enn dette, men slik jeg ser det må det uansett oppstå "hull" hvis alle intervallene som bygger opp et åpent sett i [tex]\mathbb{R}[/tex] er disjunkte.
Åpenbart er det noe her som jeg tolker feil og misforstår. Jeg setter STOR pris på om noen kan oppklare dette for meg.
Spørsmål om åpent sett
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ja, men det er akkurat det siste her jeg ikke helt klarer å se for meg. Hvordan kan en åpen delmengde i R skrives som en tellbar, disjunkt union av åpne intervaller uten at elementer i delmengden faller ut?plutarco skrev:Mengden (0,100) er jo allerede skrevet som et åpent intervall.
Det teoremet sier at jo bare at det fins en måte å skrive enhver åpen delmengde i R som en tellbar, disjunkt union av åpne intervaller.
La U være en åpen mengde og la x være et element i U.
La [tex]a(x) = \sup\{ y \in \mathbb{R} | (x,y) \subseteq U\}[/tex], og [tex]b(x) = \inf\{ y \in \mathbb{R} | (y,x) \subseteq U\}[/tex].
Vi tillater [tex]a(x) = \infty[/tex] og [tex]b(x) = -\infty[/tex]. Definer [tex]V_x = (a(x),b(x))[/tex].
Vis det følgende:
1) V_x er en delmengde av U for x i U. (skriv V_x som en union av delmenger av U)
2) Hverken a(x) eller b(x) er elementer i U for x i U. (dersom a(x) og b(x) er endelige; prøv med motsigelse, og vis at a(x) og b(x) er grensepunkt til komplementet av U (som er en lukket mengde))
3) Dersom y og x er elementer i U, er V_x og V_y enten disjunkte eller like. (del opp i 2 tilfeller: y ligger i V_x og y ligger ikke i V_x)
4) Mengden av V_x for x i U er tellbar. (finn en måte å telle dem på; Hint: det finnes et rasjonalt tall i ethvert åpent intervall)
5) U = unionen av V_x for x i U. (hvis z ikke var i unionen, kan V_z heller ikke være det)
La [tex]a(x) = \sup\{ y \in \mathbb{R} | (x,y) \subseteq U\}[/tex], og [tex]b(x) = \inf\{ y \in \mathbb{R} | (y,x) \subseteq U\}[/tex].
Vi tillater [tex]a(x) = \infty[/tex] og [tex]b(x) = -\infty[/tex]. Definer [tex]V_x = (a(x),b(x))[/tex].
Vis det følgende:
1) V_x er en delmengde av U for x i U. (skriv V_x som en union av delmenger av U)
2) Hverken a(x) eller b(x) er elementer i U for x i U. (dersom a(x) og b(x) er endelige; prøv med motsigelse, og vis at a(x) og b(x) er grensepunkt til komplementet av U (som er en lukket mengde))
3) Dersom y og x er elementer i U, er V_x og V_y enten disjunkte eller like. (del opp i 2 tilfeller: y ligger i V_x og y ligger ikke i V_x)
4) Mengden av V_x for x i U er tellbar. (finn en måte å telle dem på; Hint: det finnes et rasjonalt tall i ethvert åpent intervall)
5) U = unionen av V_x for x i U. (hvis z ikke var i unionen, kan V_z heller ikke være det)
Takk skal du ha. Jeg har sett et lignende bevis for teoremet, og jeg forstår egentlig logikken i mye av det som står der. Men selv etter å ha lest beviset virkr det ikke intuitivt for meg.
Skal heller ta å lese beviset om igjen og om igjen og om igjen slik at jeg forhåpentligvis ser lyset til slutt.
Skal heller ta å lese beviset om igjen og om igjen og om igjen slik at jeg forhåpentligvis ser lyset til slutt.
Punktene er hva du bør vise, jeg har ikke gitt komplette bevis, kun en fremgangsmåte, punkt for punkt. Du kan forsøke å sette det sammen et komplett bevis her hvis du vil ha noe tilbakemelding på det. Det er absolutt det beste dersom man ikke føler seg 100% sikker på et bevis når man leser det.
Når jeg tenker meg om så har jeg glemt en liten ting:
1)':
x ligger i V_x. Hint: det finnes en epsilonkule (i dette tilfellet et intervall) (a,b) om x i U slik at x ligger i (a,b).
Når jeg tenker meg om så har jeg glemt en liten ting:
1)':
x ligger i V_x. Hint: det finnes en epsilonkule (i dette tilfellet et intervall) (a,b) om x i U slik at x ligger i (a,b).
Takk for svar.
Som jeg nevnte så har jeg tilgang til et bevis for dette. Jeg har lest det flere ganger, og det er på et punkt i beviset at jeg detter litt ut. Jeg skriver her beviset frem til dette punktet:
Suppose that [tex]G \neq \emptyset[/tex] is an open set in [tex]\mathbb{R}[/tex]. For each [tex]x \in G[/tex], let [tex]A_x := \{a \in \mathbb{R} : (a,x] \subseteq G \}[/tex] and let [tex]B_x := \{b \in \mathbb{R} : [x,b) \subseteq G \}[/tex]. Since [tex]G[/tex] is open, it follows that [tex]A_x[/tex] and [tex]B_x[/tex] are not empty. If the set [tex]A_x[/tex] is bounded below, we set [tex]a_x := inf(A_x)[/tex]; if [tex]A_x[/tex] is not bounded below, we set [tex]a_x := -\infty[/tex]. Note that in either case [tex]a_x \notin G[/tex]. If the set [tex]B_x[/tex]is bounded above, we set [tex]b_x := sup(B_x)[/tex]; if [tex]B_x[/tex] is not bounded above, we set [tex]b_x := \infty[/tex]. Note that in either case [tex]b_x \notin G[/tex].
We now define [tex]I_x := (a_x, b_x)[/tex]; clearly [tex]I_x[/tex] is an open interval containing [tex]x[/tex]. We claim that [tex]I_x \subseteq G[/tex]. To see this, let [tex]y \in I_x[/tex] and suppose that [tex]y < x[/tex]. It follows from the definition of [tex]a_x[/tex] that there exists [tex]a^\prime \in A_x[/tex], with [tex]a^\prime < y[/tex], whence [tex]y \in (a^\prime, x] \subseteq G[/tex]. Similarly, if [tex]y \in I_x[/tex] and [tex]x < y[/tex], there exists [tex]b^\prime \in B_x[/tex] with [tex]y < b^\prime[/tex], whence it follows that [tex]y \in [x, b^\prime) \subseteq G[/tex]. Since [tex]y \in I_x[/tex] is arbitrary, we have that [tex]I_x \subseteq G[/tex].
Since [tex]x \in G[/tex] is arbitrary, we conclude that [tex]\bigcup_{x \in G} I_x \subseteq G[/tex]. On the other hand, since for each [tex]x \in G[/tex] there is an open interval [tex]I_x[/tex] with [tex]x \in I_x \subseteq G[/tex], we also have [tex]G \subseteq \bigcup_{x \in G} I_x[/tex]. Therefore we conclude that [tex]G = \bigcup_{x \in G}I_x[/tex].
Her er det jeg detter litt ut. Dersom vi har definert det opprinnelige settet [tex]I_x[/tex] til være intervallet fra infinum til supremum for en vilkårlig [tex]x[/tex], hvor disse infinum og supremum ikke er i intervallet ettersom det er er et åpent sett, vil ikke [tex]\bigcup_{x \in G} I_x[/tex] da nettopp bli et sett slik jeg beskrev over? Altså: La oss f.eks. si at [tex]G = (0,100)[/tex]. Vi velger en vilkårlig [tex]x[/tex], f.eks. [tex]x = 20[/tex]. Dersom denne [tex]x[/tex] er definert i f.eks. intervallet [tex](10,30)[/tex], slik at 10 er infinum og 30 er supremum, så vil da verdiene [tex]10[/tex] og [tex]30[/tex] falle ut dersom alle de andre settene som utgjør [tex]G[/tex] er disjunkte fra settet [tex](10,30)[/tex]. Hvorfor faller ikke disse verdiene ut?!? Den eneste forklaringen jeg kan se på dette er hvis vi for enhver [tex]x[/tex] definerer verdien i hele intervallet for [tex]G[/tex], altså i dette tilfellet i intervallet [tex](0,100)[/tex]. Men hva er i så fall vitsen med å ta unionen av settene. Da vil jo:
[tex]\bigcup_{x \in G} I_x = (0,100) \cup (0,100) \cup (0,100) \cup (0,100). . .[/tex] osv.
Jeg klarer rett og slett ikke å se logikken i dette. Resten av beviset forstår jeg resonnementet i (jeg kan godt poste det hvis det er ønskelig), men jeg kan ikke se at [tex]\bigcup_{x \in G} I_x = G[/tex] hvis dette er en samling disjunkte, åpne intervaller.
Som jeg nevnte så har jeg tilgang til et bevis for dette. Jeg har lest det flere ganger, og det er på et punkt i beviset at jeg detter litt ut. Jeg skriver her beviset frem til dette punktet:
Suppose that [tex]G \neq \emptyset[/tex] is an open set in [tex]\mathbb{R}[/tex]. For each [tex]x \in G[/tex], let [tex]A_x := \{a \in \mathbb{R} : (a,x] \subseteq G \}[/tex] and let [tex]B_x := \{b \in \mathbb{R} : [x,b) \subseteq G \}[/tex]. Since [tex]G[/tex] is open, it follows that [tex]A_x[/tex] and [tex]B_x[/tex] are not empty. If the set [tex]A_x[/tex] is bounded below, we set [tex]a_x := inf(A_x)[/tex]; if [tex]A_x[/tex] is not bounded below, we set [tex]a_x := -\infty[/tex]. Note that in either case [tex]a_x \notin G[/tex]. If the set [tex]B_x[/tex]is bounded above, we set [tex]b_x := sup(B_x)[/tex]; if [tex]B_x[/tex] is not bounded above, we set [tex]b_x := \infty[/tex]. Note that in either case [tex]b_x \notin G[/tex].
We now define [tex]I_x := (a_x, b_x)[/tex]; clearly [tex]I_x[/tex] is an open interval containing [tex]x[/tex]. We claim that [tex]I_x \subseteq G[/tex]. To see this, let [tex]y \in I_x[/tex] and suppose that [tex]y < x[/tex]. It follows from the definition of [tex]a_x[/tex] that there exists [tex]a^\prime \in A_x[/tex], with [tex]a^\prime < y[/tex], whence [tex]y \in (a^\prime, x] \subseteq G[/tex]. Similarly, if [tex]y \in I_x[/tex] and [tex]x < y[/tex], there exists [tex]b^\prime \in B_x[/tex] with [tex]y < b^\prime[/tex], whence it follows that [tex]y \in [x, b^\prime) \subseteq G[/tex]. Since [tex]y \in I_x[/tex] is arbitrary, we have that [tex]I_x \subseteq G[/tex].
Since [tex]x \in G[/tex] is arbitrary, we conclude that [tex]\bigcup_{x \in G} I_x \subseteq G[/tex]. On the other hand, since for each [tex]x \in G[/tex] there is an open interval [tex]I_x[/tex] with [tex]x \in I_x \subseteq G[/tex], we also have [tex]G \subseteq \bigcup_{x \in G} I_x[/tex]. Therefore we conclude that [tex]G = \bigcup_{x \in G}I_x[/tex].
Her er det jeg detter litt ut. Dersom vi har definert det opprinnelige settet [tex]I_x[/tex] til være intervallet fra infinum til supremum for en vilkårlig [tex]x[/tex], hvor disse infinum og supremum ikke er i intervallet ettersom det er er et åpent sett, vil ikke [tex]\bigcup_{x \in G} I_x[/tex] da nettopp bli et sett slik jeg beskrev over? Altså: La oss f.eks. si at [tex]G = (0,100)[/tex]. Vi velger en vilkårlig [tex]x[/tex], f.eks. [tex]x = 20[/tex]. Dersom denne [tex]x[/tex] er definert i f.eks. intervallet [tex](10,30)[/tex], slik at 10 er infinum og 30 er supremum, så vil da verdiene [tex]10[/tex] og [tex]30[/tex] falle ut dersom alle de andre settene som utgjør [tex]G[/tex] er disjunkte fra settet [tex](10,30)[/tex]. Hvorfor faller ikke disse verdiene ut?!? Den eneste forklaringen jeg kan se på dette er hvis vi for enhver [tex]x[/tex] definerer verdien i hele intervallet for [tex]G[/tex], altså i dette tilfellet i intervallet [tex](0,100)[/tex]. Men hva er i så fall vitsen med å ta unionen av settene. Da vil jo:
[tex]\bigcup_{x \in G} I_x = (0,100) \cup (0,100) \cup (0,100) \cup (0,100). . .[/tex] osv.
Jeg klarer rett og slett ikke å se logikken i dette. Resten av beviset forstår jeg resonnementet i (jeg kan godt poste det hvis det er ønskelig), men jeg kan ikke se at [tex]\bigcup_{x \in G} I_x = G[/tex] hvis dette er en samling disjunkte, åpne intervaller.
Hm. Jeg lurer på om det akkurat gikk et lys opp for meg og at jeg virkelig har rotet meg inn i en totalt unødvendig forvirring.
Et åpent subsett av [tex]\mathbb{R}[/tex] kan jo bestå av flere intervaller som hver for seg er åpne. F.eks. intervallene (0,100), (150,180), (200, 234) og (235, 250) kan tilsammen utgjøre subsettet. Så det at jeg har rotet med å tenke at man deler f.eks. (0,100) i mindre disjunkte intervaller er bare tull - dette kan jo ikke deles opp i mindre deler slik plutarco nevner lenger oppe i tråden. Det teoremet sier er nettopp bare det at de separate intervallene som utgjør det totale åpne subsettet er nødt til å være disjunkte. Videre er så disse disjunktene settene tellbare (denne delen av beviset forstår jeg). Stemmer ikke dette?
Et åpent subsett av [tex]\mathbb{R}[/tex] kan jo bestå av flere intervaller som hver for seg er åpne. F.eks. intervallene (0,100), (150,180), (200, 234) og (235, 250) kan tilsammen utgjøre subsettet. Så det at jeg har rotet med å tenke at man deler f.eks. (0,100) i mindre disjunkte intervaller er bare tull - dette kan jo ikke deles opp i mindre deler slik plutarco nevner lenger oppe i tråden. Det teoremet sier er nettopp bare det at de separate intervallene som utgjør det totale åpne subsettet er nødt til å være disjunkte. Videre er så disse disjunktene settene tellbare (denne delen av beviset forstår jeg). Stemmer ikke dette?
Ja, det er akkurat det jeg gjorde (klasker hånden i pannen!). Nå forstår jeg plutselig dette mye bedreplutarco skrev:Tror du tenkte litt for vanskelig en periode, ja. Virket nesten som du tenkte at enhver åpen delmengde av R var et intervall(?)
.Bare et siste lite spørsmål: Hva om det opprinnelige subsettet inneholder f.eks. intervallene (0,10), (5,15), (20, 30) og (31,40). Vil dette da kunne defineres som de tre separate disjunkte settene (0,15), (20,30) og (31,40)? De to førse settene er jo ikke disjunkte og unionen av dem blir (0,15), men slik jeg ser det så vil jo de tre gjenværende settene nå oppfylle teoremet.
Ja, ihvertfall hvis det du mener er at du bygger opp en åpen delmengde ved å ta unionen av åpne intervaller som ikke er disjunkte. Da kan man jo, slik du gjør, omskrive det som en disjunkt union (siden unionen av to overlappende åpne intervaller åpenbart er et åpent intervall).
Fantastisk! Da har jeg skjønt dette. Fryktelig irriterende når man får slik mental hang-up over noe pga en dum feiltolkning av problemet! Men du verden så godt det er å endelig se lyset. Tusen takk for tålmodigheten deres!
Nå kan jeg endelig sove igjen
Nå kan jeg endelig sove igjen