omskrivning av integral med trigonometri

[gill]

har diffligningen

[tex]\sqrt{x^2-9}\frac{dy}{dx}=1[/tex] (I) y(5)=ln3 x>3

bruker trekant og pytagoras til å skrive


[tex]sinu=\frac{3}{x}[/tex]

[tex]x=\frac{3}{sinu}[/tex]

[tex]\frac{dx}{du}=3\frac{-cosu}{sin^2u}[/tex]

[tex]dx=3\frac{-cosu}{sin^2u}du[/tex]

i (I):

[tex]\sqrt{\frac{9}{sin^2u}-9}dy=3\frac{-cosu}{sin^2u}du[/tex]

[tex]\frac{3}{sinu}\sqrt{1-sin^2u}dy=3\frac{-cosu}{sin^2u}du[/tex]

[tex]\frac{3}{sinu}cosudy=3\frac{-cosu}{sin^2u}du[/tex]

[tex]3dy=-3\frac{1}{sinu}du[/tex]

fra rottman sine formeler får jeg

[tex]3y=-3tan\frac{u}{2}+C[/tex] (II)

Så kommer problemet

hvis jeg putter inn

[tex]u=sin^{-1}(\frac{3}{x})[/tex]

blir det feil svar. Hvorfor det. Hvis man skriver om til x skal det vist nok bli riktig

[tex]cos2x=cos^2x-sin^2x[/tex] som man jo kunne ha bevist

pytagoras

[tex]cos2x=1-2sin^2x[/tex]

[tex]cos2x+1=2cos^2x[/tex]

da har vi og

[tex]cosx+1=2cos^2\frac{x}{2}[/tex]

[tex]\frac{cosx+1}{2cos(\frac{x}{2})}=cos(\frac{x}{2})[/tex]

[tex]\frac{1}{2cos(\frac{x}{2})}=\frac{cos(\frac{x}{2})}{cosx+1}[/tex]

[tex]\tan(\frac{x}{2})=\frac{2cos(\frac{x}{2})sin(\frac{x}{2})}{cosx+1}[/tex]

[tex]\tan(\frac{x}{2})=\frac{2sinx}{cosx+1}[/tex]

fra (II)

[tex]3y=-3\frac{2sinu}{cosu+1}+C[/tex]

når x er 5 får vi:

[tex]u=sin^{-1}(\frac{3}{5})=0.6435[/tex]

x=5 gir y=ln3

[tex]ln3=-\frac{2sin0.6435}{cos0.6435+1}+C[/tex]

[tex]ln3=-\frac{2sin0.6435}{cos0.6435+1}+C[/tex]

C=1.76

men det her blir og feil. Hva gjør jeg galt

Her er fasit (oppgave 7.3.38)

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4100/2 ... lfov09.pdf

[Janhaa]

jeg har ikke sett på fasit, men

[tex]\int dy=\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-9}}[/tex]

sett u=x/3

3du = dx

[tex]y=3\int \frac{du}{\sqrt{9u^2-9}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^2-1}}=\text arccosh(u)+C=\text arccosh(x/3)+C=\ln(x+\sqrt{x^2-9})+C[/tex]

[gill]

jeg har ikke sett på fasit, men

[tex]\int dy=\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-9}}[/tex]

sett u=x/3

3du = dx

[tex]y=3\int \frac{du}{\sqrt{9u^2-9}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^2-1}}=\text arccosh(u)+C=\text arccosh(x/3)+C=\ln(x+\sqrt{x^2-9})+C[/tex]

det er riktig svar integrerte du fra tabell?

Hvis man ser på fasiten forandrer de C. Hvordan er det mulig?

[Janhaa]

jeg har ikke sett på fasit, men
[tex]\int dy=\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-9}}[/tex]
sett u=x/3
3du = dx
[tex]y=3\int \frac{du}{\sqrt{9u^2-9}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^2-1}}=\text arccosh(u)+C=\text arccosh(x/3)+C=\ln(x+\sqrt{x^2-9})+C[/tex]

Hvis man ser på fasiten forandrer de C. Hvordan er det mulig?

jeg husker faktisk

[tex]\int \frac{du}{\sqrt{u^2-1}}=\text arccosh(u)+C[/tex]

at dette igjen er lik ln(...) brukte jeg tabell på ja, var vel ikke meninga kanskje...
=======
ang C'en din:

[tex]C=C^, - \ln(3)[/tex]

(står jo i fasiten da)

[gill]

hehe takker