Bevis abs(x) kont på R

[mstud]

Har i oppgave å vise [tex]f(x)=|x| \ kontinuerlig \ \forall x\in \mathbb{R}[/tex].

Boken har kun vist eksempler på bevis for kontinuitet på lukkede intervaller, eller kontinuitet i punkt, derfor ser jeg ikke helt hvordan jeg skal gå i gang med dette?

Mitt forsøk på løsning:

Gitt [tex]\epsilon >0[/tex]. ...

[Aleks855]

Hmm, nå er ikke jeg HELT innøvd med begrepene, men jeg ville ikke sagt at funksjonen er kontinuerlig hvis man ser på hva som skjer i x=0.

[svinepels]

@alex: Tror du blander kontinuitet med deriverbarhet.

Gi først et argument for at funksjonen er kontinuerlig for x > 0 og for x < 0, og vis så at den er kontinuerlig i x = 0.

[dan]

Som det har blitt nevnt over: husk at abs(x) kan defineres som f(x) = x når x> 0, f(x) = -x når x<0.

da gjenstår det bare å se hva som skjer i 0.

[Nebuchadnezzar]

Strengt talt må en og vise at summen av to kontinuerlige funksjoner, som har et felles punkt er kontinuerlig. Men cruxet i oppgaven er som nevnt å studere hva som skjer i origo.

[mstud]

Da kan jeg bruke:

Gitt [tex]\epsilon>0[/tex]. [tex]0<|-x-a|<\delta=\epsilon[/tex] for x<0.

tilsvarende [tex]0<|x-a|<\delta=\epsilon[/tex] for x>0.

I x=0, kontinuitet i punkt:

[tex]\forall \epsilon > 0 \ \exist \ \delta > 0 \ \text{slik at} \ |x-0|=|x| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(0)|=|f(x)-0|=|f(x)|< \epsilon[/tex].

Stemmer det?

[Aleks855]

@alex: Tror du blander kontinuitet med deriverbarhet.

Gi først et argument for at funksjonen er kontinuerlig for x > 0 og for x < 0, og vis så at den er kontinuerlig i x = 0.

Men den er vel deriverbar også?

[tex]f(x) = |x| = \sqrt{x^2}[/tex]

[tex]f^,(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2}[/tex]

Hva er kriteriet for at den ikke er deriverbar?

[Gustav]

@alex: Tror du blander kontinuitet med deriverbarhet.

Gi først et argument for at funksjonen er kontinuerlig for x > 0 og for x < 0, og vis så at den er kontinuerlig i x = 0.

Men den er vel deriverbar også?

[tex]f(x) = |x| = \sqrt{x^2}[/tex]

[tex]f^,(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2}[/tex]

Hva er kriteriet for at den ikke er deriverbar?

Hva er da den deriverte i x=0 ?

[Aleks855]

@alex: Tror du blander kontinuitet med deriverbarhet.

Gi først et argument for at funksjonen er kontinuerlig for x > 0 og for x < 0, og vis så at den er kontinuerlig i x = 0.

Men den er vel deriverbar også?

[tex]f(x) = |x| = \sqrt{x^2}[/tex]

[tex]f^,(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2}[/tex]

Hva er kriteriet for at den ikke er deriverbar?

Hva er da den deriverte i x=0 ?

Udefinert. Men betyr dette at f(x) = 1/x også er uderiverbar? Siden den deriverte der også har bruddpunkt?

[Gustav]

Deriverbarhet er definert enten i et punkt eller på en åpen delmengde. Så f(x)=1/x er deriverbar på [tex]\mathbb{R}\setminus \{0\} [/tex]. Samme for f(x)=abs(x). De er ikke deriverbare i x=0.

For å avgjøre deriverbarhet må man bruke grensedefinisjonen av den deriverte. Da er en funksjon deriverbar i et punkt x dersom grensen [tex]\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex] eksisterer.

[Nebuchadnezzar]

Som en artig attpåklatt kommentar:

Sier vi at en funksjon er deriverbar mener vi egentlig at funksjonen
er deriverbar på [tex]\mathbb{R}[/tex], altså deriverbar for alle reelle verdier. Dermed vil vi si at 1/x og abs(x) ikke er deriverbarbare funksjoner, som nevnt tidligere.

At en funksjon er kontinuerlig har dog fint lite med at den er deriverbar.
Det er fullt mulig å konstruere funksjoner som er kontinuerlige overalt, men ikke deriverbare noen steder. For patologisk eksempel Wierstrass funksjonen (Som nettopp var konstruert for dette formålet)

[tex]f(x) = \sum_{n=1}^\infty a^n \cos(b^n \pi x)[/tex]

Hvor [tex]0<a<1[/tex] og [tex]b[/tex] et positivt oddetall og [tex]ab > 1 + \frac{3}{2}\pi[/tex].

Derimot om en funksjon er deriverbar i et punkt, må den være kontinuerlig der.