Grenseverdi

[Nibiru]

Hei! Håper noen kan hjelpe meg med denne.

Skal finne:

[tex]\lim{x\to\infty}( {\sqrt{x}(e^{1/x}-1)})[/tex]

Har kommet fram til:

[tex]\lim{x\to\infty}(\frac{2e^{1/x}}{\sqrt{x}})[/tex] ved å bruke l^Hopitals.

Jeg ser at telleren går nå mot 2 og nevneren går mot uendelig. Kan jeg dermed konkludere at svaret er 0?

Eller har ikke lov å gjøre sånn konklusjon? Har jeg da gjort noen feil underveis?

[Aleks855]

Husk at L'Hopital i hovedsak kun er lov å bruke når du får 0/0 eller uendelig/uendelig uttrykk.

Du kan heller prøve å distribuere grenseverdioperatoren over produktet, og deretter inn i kvotientene.

[Nibiru]

Husk at L'Hopital i hovedsak kun er lov å bruke når du får 0/0 eller uendelig/uendelig uttrykk.

Du kan heller prøve å distribuere grenseverdioperatoren over produktet, og deretter inn i kvotientene.

Ja, det husker jeg. Jeg har først omgjort uttrykket til [0/0], før jeg brukte L^Hopital.

[Aleks855]

Prøv heller det jeg sa om å distribuere.

Du kan skrive det som $\lim_{x\to\infty}\sqrt(x) \cdot \lim_{x\to\infty}(\frac{1}{e^x}-1)$ i første omgang. Kommer du deg videre da?

[Vektormannen]

Hei! Håper noen kan hjelpe meg med denne.

...

Jeg ser at telleren går nå mot 2 og nevneren går mot uendelig. Kan jeg dermed konkludere at svaret er 0?

Eller har ikke lov å gjøre sånn konklusjon? Har jeg da gjort noen feil underveis?

Ser ut som du har gjort det riktig. Grensa av det du ender opp med etter L'Hopital blir som du sier 0.

Prøv heller det jeg sa om å distribuere.

Du kan skrive det som $\lim_{x\to\infty}\sqrt(x) \cdot \lim_{x\to\infty}(\frac{1}{e^x}-1)$ i første omgang. Kommer du deg videre da?

$\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$ gjelder kun dersom $\lim_{x \to a} f(x)$ og $\lim_{x \to a} g(x)$ eksisterer, og det er jo ikke tilfelle med $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$ her.


edit: å sitere latex-kode gikk visst ikke :/

[Aleks855]

Jeg får -uendelig. Tilfeldigvis fikk WA det samme. =/

[Vektormannen]

Hva tastet du inn da? http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... qrt%28x%29

[Nebuchadnezzar]

Svaret er null, ja.
$
\lim_{x \to \infty} \sqrt{x} \left( e^{1/x} - 1\right) = \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{\sqrt{t}}
= \lim_{t \to 0} \frac{( 1 + t + t^2/2! + \cdots) - 1}{t^{1/2}}
= \lim_{t\to0} \left(t^{1/2} + t^{3/2}/2 + \cdots \right)
= 0
$

[Nibiru]

Ok, takk for svarene!

[Aleks855]

Beklager. Gjorde en kjapp (og feil) omskriving før jeg satte igang utregninga. Dere trenger ikke å vite hva det var

[Nibiru]

Hei igjen! Jeg fortsetter bare her. Jeg føler jeg har ikke helt kontroll på grenserverdier og kontinuitet. Her er en ny oppgave.



Hvis f(x) har bare vært $x^2*cos(1/x)$, da ser jeg at den er ikke kontinuerlig og ikke deriverbar i x=0, og dermed $\lim_{x \to 0} f'(x)$ eksisterer ikke.
Men her er x=0 definert i funksjonen.

Hva er det formelle kravet for at $\lim_{x \to 0} f'(x)$ skal eksistere?

Jeg har funnet at $\lim_{x \to 0} f'(x)=\lim_{x \to 0} 2x*cos(1/x)+sin(1/x)=eksistererikke$

Men skulle ikke denne grenseverdien eksistere siden f(0)=0?

Og hvordan bruker jeg definisjonen av den deriverte for å avgjøre om f er deriverbar i x=0?
Meningen at jeg skal bruke: $f'(x)=\lim_{x \to h} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$?

[Vektormannen]

Hei igjen! Jeg fortsetter bare her. Jeg føler jeg har ikke helt kontroll på grenserverdier og kontinuitet. Her er en ny oppgave.



Hvis f(x) har bare vært $x^2*cos(1/x)$, da ser jeg at den er ikke kontinuerlig og ikke deriverbar i x=0, og dermed $\lim_{x \to 0} f'(x)$ eksisterer ikke.
Men her er x=0 definert i funksjonen.

Hva er det formelle kravet for at $\lim_{x \to 0} f'(x)$ skal eksistere?

Spørs hva du mener, men det det vil si at grensen eksisterer er at man kan få uttrykket så nært et reelt tall L man vil, så lenge x er nær nok 0 (mer presist epsilon-delta, som du sikkert er kjent med).

Jeg har funnet at $\lim_{x \to 0} f'(x)=\lim_{x \to 0} 2x*cos(1/x)+sin(1/x)=eksistererikke$

Det stemmer det; grensa eksisterer ikke. Om du vil kan du jo prøve å vise at epsilon-delta-definisjonen av den grensa ikke er oppfylt. Årsaken ligger i at uansett hvor lite intervall man lager seg rundt 0, vil sin(1/x) ta alle verdier mellom -1 og 1, så det blir ikke mulig å få $sin(1/x) < \epsilon$ for alle $\epsilon > 0$.

Men skulle ikke denne grenseverdien eksistere siden f(0)=0?

Ta en kikk på absoluttverdifunksjonen. Den er definert og er kontinuerlig over alt, men er ikke deriverbar i x = 0. Der eksisterer heller ikke grenseverdien av den deriverte i 0.

Og hvordan bruker jeg definisjonen av den deriverte for å avgjøre om f er deriverbar i x=0?
Meningen at jeg skal bruke: $f'(x)=\lim_{x \to h} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$?

Ja, for å vise at funksjonen er deriverbar må du bruke definisjonen av hva det vil si for en funksjon å være deriverbar, og det er nettopp at den grensa eksisterer. I ditt tilfelle er det i $x = 0$ det er interessant å se, så grensa du må se på er
$f^\prime(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}.$

[Nibiru]

Ok, jeg tror jeg skjønner det nå. Tusen takk!