Fourierrekker

[Saniii]

Hei! Skal finne den komplekse fourrierrekka til [tex]e^{-x}[/tex], men står fast. Har komt fram til:

Cn = [tex]\frac{1}{2\pi}[/tex](- [tex]\frac{1}{1+in}[/tex]*[tex]e^{-\pi}[/tex]*[tex]e^{-in\pi}[/tex] + [tex]\frac{1}{1+in}[/tex]*[tex]e^\pi[/tex]*[tex]e^{in\pi}[/tex])*[tex]e^{inx}[/tex]

i fasit går dei herifrå vidare til:

[tex]\frac{1}{2\pi}[/tex]*[tex]\frac{1}{1+in}[/tex]*[tex](-1)^{n}[/tex]*([tex]e^{\pi}[/tex]-[tex]e^{-\pi}[/tex])

Eg skjønnar ikkje heilt kva dei har gjort her?

Link til fasit: http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4122/2 ... 22_10h.pdf

Takk for hjelp!

[Vektormannen]

Husk på at [tex]e^{\pm in\pi} = \cos(\pm n\pi) + i \sin(\pm n\pi)[/tex]. Sinusleddet blir alltid 0, og cosinusleddet veksler mellom -1 og 1: [tex]e^{\pm in\pi} = \cos(\pm n\pi) = (-1)^n[/tex]. Det de gjør er å trekke den felles faktoren [tex](-1)^n \frac{1}{1+in}[/tex] ut av parentesen.

[Saniii]

Tusen takk!

[Saniii]

Ser at eg slit med neste del av oppgåva også.. Då skal ein bruke rekkja til å finne summen av to uttrykk.
Linken til oppgåva er her: http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4122/2 ... 22_10h.pdf (fasiten er den som er linka til over)
Det eg ikkje skjønnar er korleis dei plutseleg går frå n = - uendeleg som grenseverdi til n =1? Eg skjønnar heller ikkje kva dei gjer når dei manipulerar [tex]\frac{1}{1+in}[/tex].

[Nebuchadnezzar]

Tja, hva vil det si når en sum er på formen

$ \hspace{1cm}
S = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n
$

? Å starte summen å minus uendelig er noe vanskelig, og
vi liker derfor bedre å dele summen ved 1 og summere både oppover og nedover Merk at

$ \hspace{1cm}
S
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n
= a_0 + \sum_{n=-\infty}^{-1} a_n + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n
$

Settes nå $n = -n$ i første sum får en

$ \hspace{1cm}
S
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n
= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \Bigl( a_{-n} + a_n \Bigr)
$

Og resultatet følger.

[Saniii]

Åja! Takk for hjelpa