Spørsmål (NTNU Matte 4)

[Gjest]

Hei,
hadde konteksamen i matte 4 i dag. Et spørsmål lød som følger:

"La $f$ være definert av $f(x) = \sin x$ for $0 \leq x \leq \pi$. Skissér grafen til den like $2 \pi$-periodiske utvidelsen av $f$ over noen perioder. Finn Fourier-cosinus-rekken til $f$."

Jeg klarte ikke helt å skjønne hva som mentes. Eneste som jeg fikk til å gi mening med både "like" og "2*pi-periodiske" var at perioden fra 0 til pi repetertes om igjen og om igjen, men det har jo da en periode på pi og ikke 2*pi. Nå er den jo selvsagt også 2*pi-periodisk, men jeg synes i så fall det er merkelig å oppgi en periode større enn nødvendig. Men jeg klarte ikke å få oppgaven til å gi mening på noen andre måter. :/

Noen som kan hjelpe?

[Fibonacci92]

At en funksjon er like betyr at den er symmetrisk om y-aksen, eller alternativt at $f(x) = f(-x)$.

Det jeg antar du skulle gjøre var å tegne grafen til $f$ gitt ved $f(x) = sin(x)$ i intervallet $0 \leq x \leq \pi$, og så speilet grafen om y-aksen. Dette er da grafen til én periode av den funksjonen som du skal finne.

[Unternehmen Mammut]

Ta emnet hos Grasmair istedenfor. Han er profesjonell og dyktig.

[viking]

Du har sikkert hatt dette i pensum med bedre utledning. Hva med å se på denne funksjonen som ett produkt mellom en firkantpuls (rektangel) og en sinus. Fouriertransformasjonen av en konvolusjon blir produktet.

Tranformasjonene av sin og rektangel vet du.
Svaret må derfor bli (hoderegning, sjekk parametrene selv)

Z(w)=i/2(sinc((w-1)/2pi)-sinc((w+1)/2pi))

Dette er for rekt symmetrisk i x. Bruk skifte teoremet til å skli det til 0-2pi, i.e. e^(-iwpi)*Z(w)