Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Finn lengden til den lengste bjelken som kan bæres horisontalt fra en korridor med bredde [tex]9^3[/tex]
til en korridor med bredde [tex]40^3[/tex]
Anta at bjelken ikke har noen utstrekning utenom i lengderetningen.
Denne oppgaven gikk helt over hodet på meg. Det er innenfor "Anvendelse av derivasjon", men jeg står bomfast.
Jeg er interessert i å se hvordan man bør starte, og ellers angripe en slik problemstilling.
Den beste måten er vel med en skisse, og så prøvde jeg å visualisere meg hvordan jeg ville ha bært bjelken selv. (Selv om det høres dumt ut). Vinkelen til hvordan man bærer bjelken avgjør hvor stor den kan være og vi vil få to formlike trekanter:
Da har du en funksjon for lengden av bjelken L som du kan maksimere.
Det der var nok ikke dumt. Det ser ut som en veldig interessant ide, spør du meg. Jeg tenkte ikke å prøve slik, og det ser fornuftig ut.
Jeg prøvde meg på likningen, deriverte og løste for null. Da fikk jeg at nullpunktet for den deriverte er i [tex]2\cdot arctan(5/4)[/tex]
Setter jeg så dette inn i sin og cos i L, så får jeg at L = 62 279. Programmet sier at svaret skal være heltallig, men jeg får det som feil -.-
Jeg kom frem til at $L_{min}(a, b) = \left(a+\frac{b}{\sqrt[3]{b/a}}\right)\sqrt{\left(\sqrt[3]{b/a}\right)^2+1}$, som gir $L_{min}(40^3, 9^3) = 68~921$
Vi setter [tex]y'(\theta)=\frac{40^3 sin(\theta)}{cos^2(\theta )}-\frac{9^3 cos(\theta)}{sin^2(\theta)}=0[/tex]. Her må du gange opp med [tex]sin^2(\theta)[/tex] og dele på [tex]cos(\theta)[/tex] i alle ledd for å finne følgende:
Da får vi at [tex]tan(\theta )=\sqrt[3]{\frac{9^3}{40^3}} \Rightarrow \theta =\frac{9}{40}[/tex]
Vi setter vinkelen inn i den originale funksjonen[tex]y(\theta)[/tex]. Det gir at [tex]y(9/40)=68922.4[/tex]
Vi gikk i gjennom dette i timen med denne fremgangsmåten. Viktig å påpeke at det egentlig er et minimumsproblem i intervallet [tex](0,\pi/2)[/tex]. Dette vil da si vinkelen 0 til 90 grader.
Fra her kan vi finne et uttrykk [tex]sin(\theta)[/tex] og [tex]cos(\theta)[/tex] uttrykt med a og b, siden vi vet at løsningen skal være mellom 0 og 90 grader. (Detta ga og en "finere" løsning).
Siden [tex]tan(\theta)=\frac{motstående}{hosliggende}[/tex] vil utgjøre en rettvinklet trekant med sider [tex]a^{1/3}[/tex] og [tex]b^{1/3}[/tex], følgelig blir hypotenusen ved Pytagoras:
Hei, jeg må beklage for sent svar!
Det stemmer at 68921 er korrekt svar. Jeg synes fremgangsmåtene deres er veldig spennende, og interessante.
Dette er ikke noe vi har lært, så jeg skjønner ikke helt hvordan vi skulle i prinsippet ha klart noe slikt, men jeg skal se veldig nøye på løsningene deres uten tvil, for å forstå det konkret.
[tex]\theta=\arctan \left (\frac{40}{9} \right )[/tex] ville forøvrig gitt samme svar.
Du kunne også brukt at:
[tex]\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}[/tex] og at [tex]\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}[/tex] som ville vært raskere enn min løsning.
