Hei og ho, igjen! Jeg sitter med en oppgave her, som jeg har drevet og fundert på en greit god stund nå. ( )
Den sier følgende:
Vi ønsker å skissere funksjonen
[tex]f(x)=15\cdot arctan(\frac{6}{x^2})[/tex]
Da trenger vi informasjon om maks-minpunkter, vendepunkter og konkavitet/konveksitet; altså ønsker vi å løse likningene f′(x)=0 og f′′(x)=0.
Første utfordring er at funksjonen ikke er definert for x=0, men ettersom grenseverdien [tex]\lim_{x\rightarrow 0}f(x)[/tex]
eksisterer kan vi istedenfor f betrakte funksjonen g definert ved
[tex][tex][/tex][tex]g(x)=\left\{\begin{matrix} \lim_{x\rightarrow 0}f(x), & x=0 \\ f(x), & x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex][/tex]
En slik funksjon g kalles en kontinuerlig utvidelse av f,
Finn alle punktene hvor g′(x)=0 og alle punktene hvor g′′(x)=0, og bruk dette til å bestemme: 1) (lokale) maksimum- eller minmumsverdier (funksjonsverdier), og 2) funksjonsverdien i vendepunkter til g.
Okei, så jeg er veldig ustødig på det å vite forskjellen på lokale og globale ekstremalpunkter, i tillegg til å finne dem ved regning.
Men jeg antar at jeg da skal først finne f'(x) og f''(x), og skrive om f(x).
[tex]f'(x)=-\frac{180x}{x^4+36}[/tex]
Jeg løste f'(x) = 0, og da ser man at det er et ekstremalpunkt i x = 0.
Men jeg kan ikke finne ekstr. punktet fordi f(x) er definert for x = 0, noe jeg regner med at man skal bruke den forskriften til?
[tex]f''(x)=\frac{720x^3}{(x^4+36)^2}[/tex]
f''(x) = 0 , er det jeg også løser og da får jeg:
[tex]x=-\sqrt{2}\sqrt[4]{3}[/tex]
og
[tex]x=\sqrt{2}\sqrt[4]{3}[/tex]
Skal jeg da sette dette inn i f(x), og da får jeg funksjonsverdien til vendepunktene??
På forhånd takk.
Derivert og dobbeltderivert
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Galois
- Innlegg: 598
- Registrert: 09/10-2012 18:26
Sist redigert av ThomasSkas den 02/10-2015 20:27, redigert 1 gang totalt.
-
- Galois
- Innlegg: 598
- Registrert: 09/10-2012 18:26
Noen?
Jeg føler at jeg er på rett spor. Jeg tror problemet ligger bare i at den deriverte har nullpunkt i x = 0, noe som ikke er passelig for hovedfunksjonen.
Men jeg tenker at jeg må utnytte da den delte forskriften til å finne løsningen, men jeg ser ikke helt hva jeg skal gjøre. :S
Jeg tror kanskje at [tex]\lim_{x\rightarrow 0}15arctan(\frac{6}{x^2})=\frac{15\pi }{2}[/tex]??
Jeg føler at jeg er på rett spor. Jeg tror problemet ligger bare i at den deriverte har nullpunkt i x = 0, noe som ikke er passelig for hovedfunksjonen.
Men jeg tenker at jeg må utnytte da den delte forskriften til å finne løsningen, men jeg ser ikke helt hva jeg skal gjøre. :S
Jeg tror kanskje at [tex]\lim_{x\rightarrow 0}15arctan(\frac{6}{x^2})=\frac{15\pi }{2}[/tex]??
-
- Grothendieck
- Innlegg: 828
- Registrert: 13/10-2007 00:33
Stemmer, grafen vil da ha et toppunkt i [tex]\left( 0,\frac{15\pi}{2} \right)[/tex], vendepunktene er også riktig.
-
- Galois
- Innlegg: 598
- Registrert: 09/10-2012 18:26
Takker, jeg har også den "samme" her, bare med en annen e-funksjon. Jeg legger ved skjermbilde:
https://gyazo.com/3d6b32a97211663cde48cfe2fae8809e
Den eneste forskjellen i teksten er at det til slutt står:
Kommentar: Dette er et eksempel på en funksjon hvor annenderivert testen ikke gir noen konklusjon for alle kritiske punkter g'(x) = 0.
Ok, så dette tenkte jeg da:
[tex]f'(x)=\frac{17}{3x^3}\cdot e^{\frac{-1}{6x^2}}[/tex]
Når man skal prøve å løse f'(x) = 0, så får man at det ikke finnes noen nullpunkter.
Men jeg ser at [tex]\lim_{x\rightarrow 0}17e^{\frac{-1}{6x^2}}=0[/tex]
Videre har vi at:
[tex]f''(x)=\frac{-17e^{\frac{-1}{6x^2}}(9x^2-1)}{9x^6}[/tex]
[tex]f''(x)=0[/tex]
Da får vi:
[tex]x=\frac{1}{3}[/tex] og [tex]x=-\frac{1}{3}[/tex]
Da får jeg videre:
[tex]f(\frac{1}{3})=\frac{17}{\sqrt{e^3}}[/tex]
[tex]f(-\frac{1}{3})=\frac{17}{\sqrt{e^3}}[/tex]
Her blir også spørsmålet mitt: Er dette to vendepunkt, eller bare ett? det er to forskjellige x-verdier, så det må vel være det selv om de gir samme tall med ulikt fortegn?
Men så gjelder det å finne ekstremalpunktet for f(x), altså f'(x) = 0, som jeg sliter med her.
Men prøver meg:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}17e^{\frac{-1}{6x^2}}=0[/tex] Hva sier denne meg da?
https://gyazo.com/3d6b32a97211663cde48cfe2fae8809e
Den eneste forskjellen i teksten er at det til slutt står:
Kommentar: Dette er et eksempel på en funksjon hvor annenderivert testen ikke gir noen konklusjon for alle kritiske punkter g'(x) = 0.
Ok, så dette tenkte jeg da:
[tex]f'(x)=\frac{17}{3x^3}\cdot e^{\frac{-1}{6x^2}}[/tex]
Når man skal prøve å løse f'(x) = 0, så får man at det ikke finnes noen nullpunkter.
Men jeg ser at [tex]\lim_{x\rightarrow 0}17e^{\frac{-1}{6x^2}}=0[/tex]
Videre har vi at:
[tex]f''(x)=\frac{-17e^{\frac{-1}{6x^2}}(9x^2-1)}{9x^6}[/tex]
[tex]f''(x)=0[/tex]
Da får vi:
[tex]x=\frac{1}{3}[/tex] og [tex]x=-\frac{1}{3}[/tex]
Da får jeg videre:
[tex]f(\frac{1}{3})=\frac{17}{\sqrt{e^3}}[/tex]
[tex]f(-\frac{1}{3})=\frac{17}{\sqrt{e^3}}[/tex]
Her blir også spørsmålet mitt: Er dette to vendepunkt, eller bare ett? det er to forskjellige x-verdier, så det må vel være det selv om de gir samme tall med ulikt fortegn?
Men så gjelder det å finne ekstremalpunktet for f(x), altså f'(x) = 0, som jeg sliter med her.
Men prøver meg:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}17e^{\frac{-1}{6x^2}}=0[/tex] Hva sier denne meg da?
Har ikke lest innholdet i innleggene over, men et protip, Thomas, er å skrive ("høye") parenteser slik
Da blir størrelsen på parentesene tilpasset innholdet. I stedet for f.eks. [tex](\frac{ \pi^2}{2})[/tex] blir det seende slik ut: [tex]\left ( \frac{\pi^2}{2} \right )[/tex]. Bytter du ut "(" i koden med "|", "[" osv, vil også disse tilpasses
Kode: Velg alt
\left ( "uttrykket ditt" \right )