4223^9 ender på 3?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Karoline87
- Fibonacci
- Innlegg: 3
- Registrert: 13/01-2016 12:09
Hvordan argumentere for at 4223 opphøyd i 9 ender på 3?
Jeg vet ikke hva pensumet ditt består av, men du kan bruke moduloregning for å komme frem til dette.
Alternativt kan man gjøre sitt eget lille forsøk:
Ta et tall som ender på 3 og gang det med seg selv.
For enkelhets skyld kan vi ta 13.
Når vi regner ut 13^2 = 13*13, så vet vi at i første omgang tar vi det siste sifret i hvert av tallene og setter produktet av disse som siste siffer i resultatet.
Her blir det 3*3 = 9. Vi trenger ikke gjøre mer. Da vet vi at 13*13 = ...9, eller på litt mer matematisk språk, $13^2 = \equiv 9 \pmod{10}$
Fortsetter du dette vil du finne at $13^n \equiv 9 \pmod{10}$ for partalls $n$, og $13^n \equiv 3 \pmod{10}$ for oddetalls $n$.
Men poenget er at det eneste vi trenger å se på er det siste sifret. Siden 13 og 4223 har det samme siste sifret, så blir argumentet det samme.
For øvrig kan det være greit å bite seg merke i at alle slike siste sifre har en syklus som de løper gjennom når de opphøyes i heltall.
Alternativt kan man gjøre sitt eget lille forsøk:
Ta et tall som ender på 3 og gang det med seg selv.
For enkelhets skyld kan vi ta 13.
Når vi regner ut 13^2 = 13*13, så vet vi at i første omgang tar vi det siste sifret i hvert av tallene og setter produktet av disse som siste siffer i resultatet.
Her blir det 3*3 = 9. Vi trenger ikke gjøre mer. Da vet vi at 13*13 = ...9, eller på litt mer matematisk språk, $13^2 = \equiv 9 \pmod{10}$
Fortsetter du dette vil du finne at $13^n \equiv 9 \pmod{10}$ for partalls $n$, og $13^n \equiv 3 \pmod{10}$ for oddetalls $n$.
Men poenget er at det eneste vi trenger å se på er det siste sifret. Siden 13 og 4223 har det samme siste sifret, så blir argumentet det samme.
For øvrig kan det være greit å bite seg merke i at alle slike siste sifre har en syklus som de løper gjennom når de opphøyes i heltall.
