Finn den minste og den største verdien av funksjonen [tex]f(x,y)=ln(1-xy)[/tex] på kvartsirkelen [tex]x^2+y^2=1[/tex] , [tex]x\geq 0,y\geq 0[/tex]
Hva har jeg gjort?
Jo, jeg mener dette skal være en sitasjon vor det er passelig å bruke Lagranges metode?
Jeg kom til følgende:
[tex]L(x,y,\lambda )=ln(1-xy)+\lambda (x^2+y^2-1)[/tex]
Par. deriverer, og får at de krit. punktene er når:
[tex]\frac{\Phi L}{\Phi x}=\frac{y}{xy-1}+2\lambda x=0[/tex]
[tex]\frac{\Phi L}{\Phi y}=\frac{x}{xy-1}+2\lambda y=0[/tex]
[tex]\frac{\Phi L}{\Phi \lambda }=x^2+y^2-1=0[/tex]
Greit, så jeg vil jo finne lambda, og det tredje uttrykket ser enklest ut.
Men det jeg tenker videre, er at jeg kan kanskje prøve å kvadrere likning 1 og 2 hver for seg, også legge dem sammen?
Da ender jeg opp med:
[tex]\frac{x^2}{(xy-1)^2}+\frac{y^2}{(xy-1)^2}=4\lambda ^2x^2+4\lambda ^2y^2[/tex]
Og ender opp med: [tex]\lambda =\pm \frac{1}{2(xy-1)^2}[/tex]
Hva gjør jeg videre? Jeg føler at dette er helt feil metode eller at dette jeg gjør er unødvendig komplisert. Derfor spør spør jeg om hjelp fra dere!
Takk
