skjønner ingenting!Sannsynlighetsfordeling
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Tillater meg å sitere litt:
Lengden av en 5-minutters pause ved en bestemt høyskole har vist seg å være en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet
[tex]f(x) = \frac{15 - x}{50} = -\frac{1}{50}x + \frac{3}{10} \quad \quad x \in \<5\ ,\ 15\>[/tex]
a) Hvor stor er sannsynligheten for at en pause varer lenger enn 10 minutter?
Gitt en tetthetsfunksjon f(x) for en kontinuerlig stokastisk variabel X vet vi at sannsynligheten [tex]P(a < X < b) = \int_a^b f(x) {\rm d}x[/tex].
Altså: Sannsynligheten for at en pause varer lenger enn 10 minutter er lik sannsynligheten for at den er mellom 10 og 15 minutter:
[tex]P(X > 10) = P(10 < X < 15) = \int_{10}^{15} f(x) {\rm d}x = 25 \percent[/tex]
b) Finn gjennomsnittlig pauselengde (altså E(X))
Vi vet at for en stokastisk variabel X med tetthetsfunksjon f(x), så er
[tex]E(x) = \int_a^b x \cdot f(x) {\rm d}x[/tex]
a og b er grensene for intervallet hvor tetthetsfunksjonen er definert.
I dette tilfellet har vi [tex]E(x) = \int_{10}^{15} x \cdot f(x) {\rm d}x = \frac{25}{3} \approx 8,33[/tex]
Altså er gjennomsnittlig pauselengde på 8 min 20 sek.
c) Bestem fordelingsfunksjonen [tex]F(x) = P(X \le x)[/tex]
Vi vet at [tex]P(X \le x) = P(X < x) = P(5 < X < x) = \int_5^x f(x) {\rm d}x[/tex]
Det betyr
[tex]F(x) = \int_5^x (-\frac{1}{50}x + \frac{3}{10}) {\rm d}x = [-\frac{1}{100}x^2 + \frac{3}{10}x\]_5^x = -\frac{1}{100}x^2 + \frac{3}{10}x - \frac{5}{4}[/tex]
Det ble vel litt kjapt, men stemte det med fasiten?
Lengden av en 5-minutters pause ved en bestemt høyskole har vist seg å være en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet
[tex]f(x) = \frac{15 - x}{50} = -\frac{1}{50}x + \frac{3}{10} \quad \quad x \in \<5\ ,\ 15\>[/tex]
a) Hvor stor er sannsynligheten for at en pause varer lenger enn 10 minutter?
Gitt en tetthetsfunksjon f(x) for en kontinuerlig stokastisk variabel X vet vi at sannsynligheten [tex]P(a < X < b) = \int_a^b f(x) {\rm d}x[/tex].
Altså: Sannsynligheten for at en pause varer lenger enn 10 minutter er lik sannsynligheten for at den er mellom 10 og 15 minutter:
[tex]P(X > 10) = P(10 < X < 15) = \int_{10}^{15} f(x) {\rm d}x = 25 \percent[/tex]
b) Finn gjennomsnittlig pauselengde (altså E(X))
Vi vet at for en stokastisk variabel X med tetthetsfunksjon f(x), så er
[tex]E(x) = \int_a^b x \cdot f(x) {\rm d}x[/tex]
a og b er grensene for intervallet hvor tetthetsfunksjonen er definert.
I dette tilfellet har vi [tex]E(x) = \int_{10}^{15} x \cdot f(x) {\rm d}x = \frac{25}{3} \approx 8,33[/tex]
Altså er gjennomsnittlig pauselengde på 8 min 20 sek.
c) Bestem fordelingsfunksjonen [tex]F(x) = P(X \le x)[/tex]
Vi vet at [tex]P(X \le x) = P(X < x) = P(5 < X < x) = \int_5^x f(x) {\rm d}x[/tex]
Det betyr
[tex]F(x) = \int_5^x (-\frac{1}{50}x + \frac{3}{10}) {\rm d}x = [-\frac{1}{100}x^2 + \frac{3}{10}x\]_5^x = -\frac{1}{100}x^2 + \frac{3}{10}x - \frac{5}{4}[/tex]
Det ble vel litt kjapt, men stemte det med fasiten?
Skal tetthetsfunksjonen være definert slik?:
[tex]f(x) = \left{ \ \begin{array}{l l} 0 & \qquad {\rm for} \ \ x<5 \\ \frac{15-x}{50} & \qquad {\rm for} \ \ 5 \leq x \leq 15 \\ 0 & \qquad {\rm for} \ \ x > 15\end{array}[/tex]
Sannsynligheten for at en pause varer mer enn 10 minutter er lik totalarealet fra x = 10 og oppover. (For vi vet jo at sannsynlighetsverdier er gitt som arealer under tetthetsfunksjonsgrafen!)
[tex] \int_{10} ^{15} \frac{15-x}{50} \ {\rm d}x = [\frac{15}{50}x-\frac{1}{100}x^2]_{10} ^{15} = \frac{1}{4}[/tex]
Resten klarer du nok selv
Gjennomsnittlig pauselengde er gitt ved
[tex]E(x) = \int _{-\infty} ^\infty x f(x) \ {\rm d}x [/tex]
og fordelingsfunksjonen er gitt ved
[tex]P(X \leq n) = \int _{-\infty} ^n f(x) \ {\rm d}x[/tex]
Ser du hvorfor?
[tex]f(x) = \left{ \ \begin{array}{l l} 0 & \qquad {\rm for} \ \ x<5 \\ \frac{15-x}{50} & \qquad {\rm for} \ \ 5 \leq x \leq 15 \\ 0 & \qquad {\rm for} \ \ x > 15\end{array}[/tex]
Sannsynligheten for at en pause varer mer enn 10 minutter er lik totalarealet fra x = 10 og oppover. (For vi vet jo at sannsynlighetsverdier er gitt som arealer under tetthetsfunksjonsgrafen!)
[tex] \int_{10} ^{15} \frac{15-x}{50} \ {\rm d}x = [\frac{15}{50}x-\frac{1}{100}x^2]_{10} ^{15} = \frac{1}{4}[/tex]
Resten klarer du nok selv
Gjennomsnittlig pauselengde er gitt ved
[tex]E(x) = \int _{-\infty} ^\infty x f(x) \ {\rm d}x [/tex]
og fordelingsfunksjonen er gitt ved
[tex]P(X \leq n) = \int _{-\infty} ^n f(x) \ {\rm d}x[/tex]
Ser du hvorfor?
