Nøstede Kvantorer

[NisseLord]

Hei,
jeg har et lite problem med å forstå forskjellen mellom kvantorene ∀ og ∃.

Har sett at
∀xP(x) [symbol:identisk] P(1)∧P(2)∧P(3)∧....P(n)
og at
∃xP(x) [symbol:identisk] P(1)∨P(2)∨P(3)∨....P(n)

Blir det slik at:
∀x∀y(x^5 = y^5 ⇒ x = y)
er usann fordi x og y kan være to forskjellige tall, og for at det uttrykket skal gå opp må det se slik ut?:

∀x∃y(x^5 = y^5 ⇒ x = y)


Takker for all hjelp

[KjetilEn]

Hei, en stund siden jeg har hatt logikk nå, men prøver meg.

Så vidt jeg kan se er begge utsagn sanne, men de forteller ulike ting.
La oss kalle egenskapen [tex] x^5 = y^6 \rightarrow x = y[/tex] for P(x, y)

Med utsagnet [tex]\forall x \forall y P(x, y) [/tex] sier vi at egenskapen P(x, y) er sann for alle x og y.

Med utsagnet [tex]\forall x \exists y P(x, y) [/tex] derimot, sier vi at denne egenskapen er sann for minst én y.


Det er ikke så lett å se forskjellen, så la oss ta et bedre eksempel, La P(x, y) være [tex] x^0 = y^0 \rightarrow x=y [/tex]

Utsagnet [tex]\forall x \forall y P(x, y)[/tex] stemmer ikke, fordi [tex]x^0 = y^0[/tex] ikke medfører at x=y.

Utsagnet [tex]\forall x \exists y P(x, y)[/tex] stemmer derimot. Fordi hvis [tex]x^0 = y^0[/tex] så finnes det minst ett tall y der x=y.


Håper det hjelper (og at jeg ikke har gjort noen blundere )