[symbol:integral] (cosx-1)/x^2
med grenser fra 0 til 1.
Hvordan setter jeg opp et utrykk for integralet.
Vet allerede at [symbol:sum] (-1)^(k+1)*((x^2k)/(2k+2)!)
er lik (cosx-1)/x^2, men hvordan finner jeg et utrykk for integralet fra 0 til 1?
Integral til taylorrekke
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Nå er
[tex]\int_0^1 (-1)^{k+1} \: \frac{x^{2k}}{(2k+2)!} \, dx \;=\; \Big[ \, (-1)^{k+1} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)(2k+2)!} \, \Big]_0^1 \;=\; \frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)(2k+2)!}[/tex]
som igjen gir at
[tex]\int_0^1 \frac{\cos x \:-\: 1}{x^2} \, dx \;=\; \sum_{k=0}^{\infty} \: \frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)(2k+2)!} \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \: \frac{(-1)^n}{(2n-1)(2n)!}\:. [/tex]
[tex]\int_0^1 (-1)^{k+1} \: \frac{x^{2k}}{(2k+2)!} \, dx \;=\; \Big[ \, (-1)^{k+1} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)(2k+2)!} \, \Big]_0^1 \;=\; \frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)(2k+2)!}[/tex]
som igjen gir at
[tex]\int_0^1 \frac{\cos x \:-\: 1}{x^2} \, dx \;=\; \sum_{k=0}^{\infty} \: \frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)(2k+2)!} \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \: \frac{(-1)^n}{(2n-1)(2n)!}\:. [/tex]
-
al-Khwarizmi
- Cayley
- Innlegg: 88
- Registrert: 12/09-2006 14:19
hei..
Kan du forklere litt på denne overgange:
\color{black}\displaystyle \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k+1}{(2k+1)(2k+2)!} = \color{black}\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n-1)(2n)!}
Takk
Kan du forklere litt på denne overgange:
\color{black}\displaystyle \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k+1}{(2k+1)(2k+2)!} = \color{black}\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n-1)(2n)!}
Takk
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Syns du mestrer TeX bra, jeg! Glemte bare [ tex] foran og [ /tex] (uten mellomromma) bak koden og et par klammer, men det siste hadde du glatt sett om du så på resultatet med forhåndsvisning. Dessuten er svart skrift defaulten, så det trengs ikke å spesifiseres.
Så til spørsmålet: Hvis du setter n=k+1, ser du at du kan bytte ut eksponenten til (-1). n=k+1 => 2k+1=2n-1, 2k+2=2n. Til slutt må grensene endres: k=0 gir n=1, mens k=∞ gir n=∞+1=∞ hvor det siste er mer symbolsk enn korrekt. Derfor:
[tex]\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)(2k+2)!} = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n-1)(2n)!} [/tex]
Så til spørsmålet: Hvis du setter n=k+1, ser du at du kan bytte ut eksponenten til (-1). n=k+1 => 2k+1=2n-1, 2k+2=2n. Til slutt må grensene endres: k=0 gir n=1, mens k=∞ gir n=∞+1=∞ hvor det siste er mer symbolsk enn korrekt. Derfor:
[tex]\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)(2k+2)!} = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n-1)(2n)!} [/tex]