Derivering, produktregel med "tre ledd"

[frankiboy]

Hei!

Skal derivere f.eks
f(x)=1/2xe^(1-x^(2))ln(1-x) ... Mener her at man må bruke produktregelen et par ganger her. Kan noen hjelpe meg med en liten forklaring på denne?

[mrcreosote]

Anta f(x)=u(x)A(x). Jeg skriver heretter på kortform, dvs u skal bety u(x) osv. Ved produktregelen er da f'=uA'+u'A. Hvis nå A=vw, er f=uvw og A'(x)=vw'+v'w, så da blir f'=uA'+u'A=u(vw'+v'w)+u'(vw)=uvw'+uv'w+u'vw. Du ser sikkert systemet, og det kan enkelt utvides når f=u_1*u_2*...*u_n.

[sEirik]

Så generelt blir det

[tex](abc\ ...\ xyz)^\prime = a^\prime bc\ ...\ xyz\quad +\quad ab^\prime c \ ...\ xyz\quad +\quad abc^\prime\ ...\ xyz\quad +\quad\ ...\ \quad+\quad abc\ ...\ x^\prime yz \quad+\quad abc\ ...\ xy^\prime z \quad+\quad abc\ ...\ xyz^\prime[/tex]

Eller, som Wikipedia skriver det så fint,

[tex]\frac{d}{dx} \prod_{i=1}^k f_i(x) = \left(\sum_{i=1}^k \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)}\right)\prod_{i=1}^k f_i(x)[/tex]