Derivasjon (Euler)

[RoadRunner]

Hei,

har litt problemer med å derivere (e^x+e^-x)/2
Noen som kan hjelpe ?

mvh

[Markonan]

Så utrolig kjent ut. Det er ikke tilfeldigvis en deloppgave til en viss oblig?

[tex]f(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}[/tex]

Minner først om regelen for derivering av brøker:
[tex](\frac{u}{v})^{,} = \frac{u^{,}v - uv^{,}}{v^2}[/tex]

Og minner om disse:
[tex](e^{x})^{,} = e^{x}\;\;\;(e^{-x})^{,} = -e^{-x}\;\;\;(-e^{-x})^{,} = e^{-x}[/tex]

Går tilbake til oppgaven:
[tex]f^{,}(x) = (\frac{e^x+e^{-x}}{2})^{,}[/tex]

[tex]\frac{(e^x-e^{-x})\cdot 2 - (e^x+e^{-x})\cdot 0}{4}\;=\;\frac{2(e^x-e^{-x})}{4} \;=\; \frac{e^x-e^{-x}}{2}[/tex]

[Janhaa]

Mye kjappere

[tex]f(x)\,=\,{1\over2}({e^x+e^{-x})\,=\,cosh(x)[/tex]

[tex]f^,\,=\,\,sinh(x)\,=\,{1\over 2}({e^x-e^{-x})[/tex]

husk høgskole/UNI forum...

[Markonan]

Er sant det, men jeg har samme innlevering som RoadRunner.
Oppgaven går ut på å vise at den deriverte av sinh er cosh og omvendt.

[Janhaa]

Ok, men kjappere å derivere trinnvis uansett; (bare flisespikkeri)

[tex]f\,=\,{1\over 2}{(e^x+e^{-x})}\,=\,cosh(x)[/tex]

[tex]{d\over dx}\,\,({e^x})\,=\,e^{x}[/tex]

og

[tex]{d\over dx}\,\,({e^{-x})}\,=\,-e^{-x}[/tex]

[tex]f^,\,=\,{1\over 2}{(e^x-e^{-x})}\,=\,sinh(x)[/tex]

og slippe kvotientregelen...

[RoadRunner]

Jepp, det var en deloppgave i en oblig.
Så det var ikke vanskligere enn å bruke derivasjonsregelen før brøk nei.

Takk for svar.

[Terminator]

Hva er egentlig cosh og sinh?

[Janhaa]

Hva er egentlig cosh og sinh?

HHv cosinus og sinus hyperbolikus, def:

[tex]cosh(x)={1\over 2}{(e^x+e^{-x})}[/tex]

[tex]sinh(x)={1\over 2}{(e^x-e^{-x})}[/tex]


står noen få relasjoner, samt grafene til de to over på linken

http://www.math.ntnu.no/~dundas/SIF5003/hyp/def.php

og litt mer her på engelsk

http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function