Hei, jeg lurer litt på hvordan man kan løse følgende ligning:
[tex]\mathrm{e}^{-y}(1+y)=\frac{1}{2}[/tex].
Jeg vet jo egentlig svaret. Men jeg er ute etter en løsning som gjør at jeg kan skrive svaret som en kombinasjon av rasjonale tall (pluss kanskje irrasjonale tall som [tex]\pi[/tex]).
Ikke-ordinær ligning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Omform likningen din slik:
[tex](1+y)e^{-y}=\frac{1}{2} \\ (-1-y)e^{-y}=-\frac{1}{2} \\ (-1-y)e^{(-1-y)}=-\frac{1}{2e}[/tex]
Ta så en titt på denne posten.
[tex]-1-y = \omega(-\frac{1}{2e})\\y = -\omega(-\frac{1}{2e})-1[/tex]
Jeg tror forøvrig det ikke vil være mulig å finne en enkel, lukket form for denne som involverer rasjonelle/irrasjonelle/transcendentale tall. En lukket funksjonsform er dog like fint.
[tex](1+y)e^{-y}=\frac{1}{2} \\ (-1-y)e^{-y}=-\frac{1}{2} \\ (-1-y)e^{(-1-y)}=-\frac{1}{2e}[/tex]
Ta så en titt på denne posten.
[tex]-1-y = \omega(-\frac{1}{2e})\\y = -\omega(-\frac{1}{2e})-1[/tex]
Jeg tror forøvrig det ikke vil være mulig å finne en enkel, lukket form for denne som involverer rasjonelle/irrasjonelle/transcendentale tall. En lukket funksjonsform er dog like fint.
Takk for svaret!
Da får jeg jo et kort utrykk for verdien av y. Men, jeg må jo bruke et matematikkprogram for å regne det ut... Det matteprogrammet gjør, er jo å løse ligningen numerisk.
Så vi er egentlig ikke kommet lenger enn til å plotte ligningen på en grafisk lommeregner, og se når den er null.
Da får jeg jo et kort utrykk for verdien av y. Men, jeg må jo bruke et matematikkprogram for å regne det ut... Det matteprogrammet gjør, er jo å løse ligningen numerisk.
Så vi er egentlig ikke kommet lenger enn til å plotte ligningen på en grafisk lommeregner, og se når den er null.
Hadde uttrykket ditt involvert [symbol:pi] eller e hadde du på samme måte hatt en likning som involverer tall du må representere symbolisk, for du kan ikke evaluere verdiene til en av disse uten teknisk hjelp. (Og ikke ville en numerisk evaluering gitt et nøyaktig svar heller!) At vi har gitt dem egne matematiske symboler, betyr ikke at de er noe "finere" enn en hvilken som helst annen funksjonsverdi. Det hender ofte at vi benytter oss av funksjoner i vår løsning på likninger - tenk f.eks. på den mulige løsningen x = cos(27). Hvis du begrenser deg til å prøve å løse alle lkninger med såkalte algebraiske tall, tall som er mulige polynomrøtter - som er det du er ute etter å gjøre med din funksjon - er det plutselig ikke mange likninger igjen du kan løse. Forskjellen på å iterere løsningen til likningen din på en kalkulator og på å løse den med W-funksjonen, er at kalkulatorsvaret kun er en approksimering med en algoritme ala Newton-Rhapson, mens W-funksjonssvaret faktisk er den relle, rette og eksakte løsningsverdien, selv om du praktisk talt ikke kan finne den numeriske verdien på andre måter enn ved maskinelle algoritmer.
Du har dessverre et poeng i at W-funksjonen ikke finnes på vanlige lommereknere som standardfunksjon. Det har vel med at W-funksjonen er en relativt ny matematisk funksjon. Du kan se her at den meste research som er gjort på denne funksjonen er gjort på og etter sen-nittitallet, men den har vist seg å være svært nyttig, f.eks. ved løsninger av likninger som din, og ved løsning av differensiallikninger innen ulike vitenskapsgrener. Forhåpentligvis kommer den snart til en Casio nær deg.
Du har dessverre et poeng i at W-funksjonen ikke finnes på vanlige lommereknere som standardfunksjon. Det har vel med at W-funksjonen er en relativt ny matematisk funksjon. Du kan se her at den meste research som er gjort på denne funksjonen er gjort på og etter sen-nittitallet, men den har vist seg å være svært nyttig, f.eks. ved løsninger av likninger som din, og ved løsning av differensiallikninger innen ulike vitenskapsgrener. Forhåpentligvis kommer den snart til en Casio nær deg.
Du har et viktig poeng i det du sier om at verdier som [tex]\pi[/tex] og [tex]\mathrm{e}[/tex] også bare har approksimasjonsverdier.
Men jeg vil bare legge til, at det ER likevel en liten forskjell. For [tex]\mathrm{e}[/tex] er ikke annet enn
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{k=0}^n {\frac{1}{k!}}}[/tex],
og da kan man jo utrykke dette tallet ved hjelp av matematiske symboler.
Det kan man selvsagt for dette w-funksjonen og, men det er bare det at det å bruke w-funksjonen ikke tilfører noe NYTT til ligningen, da det bare er en måte å stokke om på symbolene... det å bruke rekkeutvikling for e tilfører jo noe nytt til ligningen.
Eller er jeg helt på jordet?
Men jeg vil bare legge til, at det ER likevel en liten forskjell. For [tex]\mathrm{e}[/tex] er ikke annet enn
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{k=0}^n {\frac{1}{k!}}}[/tex],
og da kan man jo utrykke dette tallet ved hjelp av matematiske symboler.
Det kan man selvsagt for dette w-funksjonen og, men det er bare det at det å bruke w-funksjonen ikke tilfører noe NYTT til ligningen, da det bare er en måte å stokke om på symbolene... det å bruke rekkeutvikling for e tilfører jo noe nytt til ligningen.
Eller er jeg helt på jordet?
Forskjellen på
[tex](1+y)e^{-y}=\frac{1}{2}[/tex]
og
[tex]y \equiv -\omega(-\frac{1}{2e})-1[/tex]
er at verdien for y i likningen er implisitt. Det finnes en verdi for y som tilfredsstiller uttrykket, men vi vet ikke hva, og så lenge uttrykket er på den formen er det lite vi kan gjøre for å finne en verdi som tilfredsstiller det. Andre uttrykk er derimot en ekvivalens - fremhevet ved bruk av ekvivalenstegnet. Her er y-verdien gitt eksplisitt som en verdi av en kjent funksjon, og det er det ingenting som stopper oss fra å evaluere y. (Så lenge vi har en metode for å evaluere verdiene av W-funksjonen, vel å merke.) All likningsløsing avhenger av omstokking av symbolene.
x + 1 = 2
x = 2 - 1
x = 1
Dette er i siste instans bare "manipulering av symboler." I første instans er verdien av x implisitt, men etter vellykket manipulering er den gjort eksplisitt.
x + sin^2(14) = cos^2(14)
x = cos^2(14) - sin^2(14)
x = cos(28)
Er på samme måte som din likning manipulering av symboler og bruk av identiteter, og vi ender opp med et uttrykk for x som en verdi av en kjent funksjon. Vil du her påstå at siste ekvivalens ikke tilfører noe nytt i forhold til det opprinnelige uttrykket?
Men det er klart problemer oppstår dersom vi plutselig definerer en ny funksjon som løser et agebraisk problem, uten at vi har et uttrykk for funksjonsverdiene til denne. Det problemet eksisterer dog ikke for W-funksjonen, og hvis du sjekker den ut på Wikipedia eller MathWorld, har den flere rekkeutviklinger, slik som eksempelet med e^x du presenterte.
[tex](1+y)e^{-y}=\frac{1}{2}[/tex]
og
[tex]y \equiv -\omega(-\frac{1}{2e})-1[/tex]
er at verdien for y i likningen er implisitt. Det finnes en verdi for y som tilfredsstiller uttrykket, men vi vet ikke hva, og så lenge uttrykket er på den formen er det lite vi kan gjøre for å finne en verdi som tilfredsstiller det. Andre uttrykk er derimot en ekvivalens - fremhevet ved bruk av ekvivalenstegnet. Her er y-verdien gitt eksplisitt som en verdi av en kjent funksjon, og det er det ingenting som stopper oss fra å evaluere y. (Så lenge vi har en metode for å evaluere verdiene av W-funksjonen, vel å merke.) All likningsløsing avhenger av omstokking av symbolene.
x + 1 = 2
x = 2 - 1
x = 1
Dette er i siste instans bare "manipulering av symboler." I første instans er verdien av x implisitt, men etter vellykket manipulering er den gjort eksplisitt.
x + sin^2(14) = cos^2(14)
x = cos^2(14) - sin^2(14)
x = cos(28)
Er på samme måte som din likning manipulering av symboler og bruk av identiteter, og vi ender opp med et uttrykk for x som en verdi av en kjent funksjon. Vil du her påstå at siste ekvivalens ikke tilfører noe nytt i forhold til det opprinnelige uttrykket?
Men det er klart problemer oppstår dersom vi plutselig definerer en ny funksjon som løser et agebraisk problem, uten at vi har et uttrykk for funksjonsverdiene til denne. Det problemet eksisterer dog ikke for W-funksjonen, og hvis du sjekker den ut på Wikipedia eller MathWorld, har den flere rekkeutviklinger, slik som eksempelet med e^x du presenterte.
