Bevis ved induksjon at n^3 - n er delelig med 3 for alle naturlige tall n.
Beviser utsagnet for n = 1 :
1^3 -1 = 0 som er delelig med 3
Antar k^3 - k er delelig med 3, der n = k og k er et vilkårlig gitt naturlig tall. Må vise at utsagnet også er sant for n = k+1. Da er:
(k+1)^3 - (k+1) = (k+1) (k^2 + 2k +1) - (k+1)
= (k^3 - k) + 3(k^2 + k)
Så er jeg litt usikker. Vil den følgende konklusjonen være holdbar?
Av den induktive hypotesen er k^3 - k delelig med 3. Siden 3(k^2 +k) er en faktor av 3, er den følgelig også delelig med 3.
Ved induksjon er n^3 - n delelig med 3, for alle naturlige tall n.
Vil også være takknemmelig for kommentarer av oppsettet av beviset.
Bevis ved induksjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La funksjonen t(n) være definert rekursivt som følgende:
t(1) = 1
t(n) = t(n-1) + n * n! , (n > 1)
Vis ved induksjon at:
t(n) = (n+1)! -1
Ser at:
t(1) = (1+1)! -1 = 1
funksjonen er riktig for n=1
Antar:
t(k+1) = t(k + 1 - 1) + (k+1) * (k+1)! (av definisjonen)
= (k+1)! - 1 + (k+1) * (k+1)! (av den induktive hypotesen)
= k! * (k+1) - 1 + (k+1) * k! * (k+1)
= k*k! + k! - 1 + k! * (k^2 + 2k +1)
= k*k! + k! - 1 + k^2 * k! +2k * k! + k!
= k! * (k^2 + 3k + 2) -1
Og da sitter jeg fast. Noen tips?
t(1) = 1
t(n) = t(n-1) + n * n! , (n > 1)
Vis ved induksjon at:
t(n) = (n+1)! -1
Ser at:
t(1) = (1+1)! -1 = 1
funksjonen er riktig for n=1
Antar:
t(k+1) = t(k + 1 - 1) + (k+1) * (k+1)! (av definisjonen)
= (k+1)! - 1 + (k+1) * (k+1)! (av den induktive hypotesen)
= k! * (k+1) - 1 + (k+1) * k! * (k+1)
= k*k! + k! - 1 + k! * (k^2 + 2k +1)
= k*k! + k! - 1 + k^2 * k! +2k * k! + k!
= k! * (k^2 + 3k + 2) -1
Og da sitter jeg fast. Noen tips?
