Går det an å integrere dette?

[privatisering56]

[tex]\int_{1}^{\infty}\frac{1}{1 + \sqrt{n}}[/tex]

Og i så fall hvordan? Takker for svar.

[sEirik]

Du har glemt integrasjonsvariabelen! Det er ikke så lurt å gjøre på høyskole/universitetsnivå så vidt jeg har forstått.

Jeg bytter ut n med x, av gammel vane.
Finner den antideriverte først:

[tex]I = \int \frac{1}{1 + \sqrt {x}} {\rm d}x[/tex]

Substitusjon: [tex]u = 1 + \sqrt{x}[/tex], [tex]{\rm d}x = 2(u-1) {\rm d}u[/tex]

[tex]I = \int \frac{2u-2}{u}{\rm d}u = \int 2 {\rm d}u - \int \frac{2}{u} {\rm d}u = 2u - 2\ln |u| + C = 2(1 + \sqrt{x} - \ln |1+ \sqrt{x}|) + C[/tex]

Vi forenkler ved å la 2 gå inn i konstanten C.

[tex]I = 2(\sqrt{x} - \ln |1+sqrt{x}|) + C[/tex]

Så er det bare å sette inn for grensene. Vi kan evaluere for x=1 først:

[tex]2(\sqrt{1} - \ln |1 + \sqrt{1}|) = 2(1 - \ln 2) = 2 - 2\ln 2[/tex]

Så ser vi på grensen for uendelig:

[tex]L = \lim_{x \rightarrow \infty} \ \sqrt{x}\ -\ \ln |1+\sqrt{x}| + C[/tex]

Vi ser at L er et [tex]\infty - \infty[/tex]-uttrykk. Der stopper min kunnskap om grenseverdier. Prøver litt numerisk. Virker som om L går mot uendelig, riktignok sakte, når x øker. Så hvis ikke noen andre kommer med en glup måte å finne grenseverdien på, så konkluderer jeg (veldig usikkert) med

[tex]\int_1^\infty \frac{1}{1 + \sqrt{n}}\ {\rm d}n = \infty[/tex]

[Magnus]

Vel sEirik - husk at :

[tex]\sqrt{x} - \ln |1 + \sqrt{x}| = \sqrt{x} + \ln|\frac {1}{1+\sqrt{x}}|[/tex]

Trenger vel ikke være så usikker nå lenger? x vokser jo over alle grenser:)

[sEirik]

Ja, der har vi det Eller?
Husk at [tex]\ln |\frac{1}{1 + \sqrt{x}}|[/tex] gjerne blir et negativt tall. Da er vi kanskje like langt? Da har vi nemlig et [tex]\infty + (-\infty)[/tex]-uttrykk ...

[TrulsBR]

Maple sier at integralet går mot uendelig, men som matematikere vil vi vel gjerne vise dette manuelt?

[Cauchy]

Men når [tex]x\rightarrow\infty[/tex] så vil [tex]\frac{1}{1+\sqrt{x}}\rightarrow1[/tex]. [tex]\ln{1}=0[/tex], så Magnus har nok rett.

[sEirik]

Nja?

når [tex]x \rightarrow \infty[/tex] så vil [tex]\sqrt{x} \rightarrow \infty[/tex]. Da vil [tex]1 + \sqrt{x} \rightarrow \infty[/tex]. Og når [tex]n \rightarrow \infty[/tex] så vil [tex]\frac{1}{n} \rightarrow 0[/tex].

Så

[tex]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \rightarrow 0[/tex].

Og [tex]\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln x = -\infty[/tex].

Eller hva?

[Magnus]

sEirik har rett, ja. Dog - det kan lett vises at funksjonen aldri vil ha negativ derivert da, men når x går mot uendelig går den deriverte også mot 0.. Men dette har jeg ikke tid til å vise nå .. midtsemesterprøve imorra!

[Cauchy]

Sorry gutta, i mitt hode stod det [tex]\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}[/tex]. Jeg er visst bare ute å kjøre om dagen

[ingentingg]

Man bør jo vite at for n>N, for stor nok N og a,p konstant er:

ln n < n^p < a^n < n! < n^n.

[Magnus]

Joda ingentingg. Men prøvde å komme frem til et bevis her.

[ingentingg]

Har at for x>X for en X, er:
(1) ln x < x^p

Anta at uttrykket er begrenset av L. Da er:
[tex]\sqrt{x} - \ln(1+\sqrt{x} ) < L \ , \ \forall x \\ \ln(1+ \sqrt{x}) > \sqrt{x} - L \ , \ \forall x [/tex]

Men fra (1) har vi da en selvmotsigelse

[fish]

Jeg synes nok man har gått over bekken etter vann her. Dette burde vel holde:

[tex]\int_1^\infty\frac{1}{1+\sqrt{x}}\;dx>\int_1^\infty\frac{1}{2\sqrt{x}}\;dx=\left[\sqrt{x}\right]_1^\infty=\infty[/tex]