Hei. Sliter litt med å regne ut dette dobbeltintegralet [tex]$\int \int_{R} xe^{-x^{2}-y^{2}}\, dA$[/tex]. Der R er området i første kvadrant mellom x-aksen og linjen y=x. Tenkte at det var best å gjøre om til polarkoordinater slik at det ble dette dobbeltintegralen jeg skal regne ut:
[tex]$\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{\infty} r^{2}cos(\theta)e^{-r^{2}}\,dr \,d\theta$[/tex]. Min teori er at det blir slik: [tex]$\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{\infty} r^{2}e^{-r^{2}}\,dr$[/tex], etter å ha integrert med hensyn på [tex]\theta[/tex]. Det er her jeg står litt fast, så jeg lurte på om det var noen som hadde noen tips.
På forhånd takk.
Dobbeltintegral
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Nå har jeg ikke prøvd å løse oppgava di, men bare sett eksplisitt på integralet. Og vær klar over at slike integral involverer error funksjonen, der:
[tex]erf(x)\,=\,{2\over sqrt {\pi}}\,\int_0^x e^{-t^2}\,{\rm dt}[/tex]
derfor vha Wolfram og Integrator blir:
[tex]I\,=\,\int x^2e^{-x^2}\,{\rm dx}\,=\,{1\over 4}{sqrt\pi} \, {erf(x)} \,-\,{1\over 2}xe^{-x^2}\,+\,C[/tex]
[tex]erf(x)\,=\,{2\over sqrt {\pi}}\,\int_0^x e^{-t^2}\,{\rm dt}[/tex]
derfor vha Wolfram og Integrator blir:
[tex]I\,=\,\int x^2e^{-x^2}\,{\rm dx}\,=\,{1\over 4}{sqrt\pi} \, {erf(x)} \,-\,{1\over 2}xe^{-x^2}\,+\,C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Stemmer d, var en eller anna sammenheng jeg ikke huska i farta. Gjelder fra null (nederste grense) til uendelig som øverste grense, ellers er der erf(x) igjen, eller hur...arildno skrev:Husk at:
[tex]\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Bruk delvis integrasjon med [tex]u = r[/tex] og [tex]v^{\prime}= re^{-r^2}[/tex] på integralet
[tex]\int_0^{\infty} r^2 \, e^{-r^2} \, dr \;=\; \Big[(r) \cdot (- \frac{e^{-r^2}}{2})\Big]_0^{\infty} \;-\; \int_0^{\infty} 1 \cdot (- \frac{e^{-r^2}}{2}) \, dr \;=\; \frac{1}{2} \, \int_0^{\infty} e^{-r^2} \, dr \;=\; \frac{\sqrt{\pi}}{4}[/tex]
ettersom
[tex]\lim_{r \rightarrow \infty} \, r \cdot e^{-r^2} \;=\; 0[/tex] (kan f.eks. vises vha. L' Hopitals regel)
Herav følger at dobbeltintegralet forenkles til
[tex]\frac{\sqrt{\pi}}{4} \, \int_0^{\pi/4} \cos \theta \, d\theta \;=\; \frac{1}{4} \, \sqrt{\frac{\pi}{2}}.[/tex]
[tex]\int_0^{\infty} r^2 \, e^{-r^2} \, dr \;=\; \Big[(r) \cdot (- \frac{e^{-r^2}}{2})\Big]_0^{\infty} \;-\; \int_0^{\infty} 1 \cdot (- \frac{e^{-r^2}}{2}) \, dr \;=\; \frac{1}{2} \, \int_0^{\infty} e^{-r^2} \, dr \;=\; \frac{\sqrt{\pi}}{4}[/tex]
ettersom
[tex]\lim_{r \rightarrow \infty} \, r \cdot e^{-r^2} \;=\; 0[/tex] (kan f.eks. vises vha. L' Hopitals regel)
Herav følger at dobbeltintegralet forenkles til
[tex]\frac{\sqrt{\pi}}{4} \, \int_0^{\pi/4} \cos \theta \, d\theta \;=\; \frac{1}{4} \, \sqrt{\frac{\pi}{2}}.[/tex]