Grenser

[thunderstone]

Skal integrere [tex]f(x,y)=x^2+y^2[/tex] over trekanten med hjørner i [tex](0,0),(1,0) og (0,1)[/tex]

Da setter jeg opp:
[tex]\int_0^1[/tex][tex]\int_0^1[/tex][tex](x^2+y^2)dxdy=2/3[/tex]

Men fasit får 1/6
lurer på om det er grensene jeg har klusset med..

[Solar Plexsus]

Du har beregnet dobbeltintegralet over kvadratet med hjørner (0,0), (0,1), (1,0) og (1,1). Trekanten med hjørner i (0,0), (0,1) og (1,0) er avgrenset av linjene x=0, y = 0 og x + y = 1. Dermed blir dobbeltintegralet

[tex]\int_0^1 \int_0^{\:\,1-x} x^2 \, + \, y^2 \: dx dy[/tex]

[thunderstone]

OK,takk!
Skjønte den..
Men hvis jeg har sammen oppgave, men nå er det et kvadrat med hjørner i [tex](0,0),(-2,2),(0,4) og (2,2).[/tex]

Vil ikke dette kvadratet være avgrenset av :
y=4-x
y=4+x
y=x
y=-x
Men dette kan vel ikke være riktig?

[mrcreosote]

Når man skal beregne integraler over områder, kan det noen ganger være lurt å dele opp området i flere deler og integrere hver av disse for seg. Dessuten er både funksjonen din og området symmetrisk om y-aksen, så du kan forenkle ytterligere ved å beregne det dobbelte av integralet over den delen av området som ligger i første kvadrant.

[fish]

Den siste oppgaven løses kanskje mest elegant ved å innføre nye variable
[tex]u=y-x[/tex] og [tex]v=y+x[/tex], for da får vi området beskrevet ved et kvadrat i [tex](u,v)[/tex]-planet:

[tex]0\leq u\leq 4[/tex] og [tex]0\leq v\leq 4[/tex].

Men dette forutsetter også kjennskap til Jakobi-determinanten som kommer inn i forbindelse med variabelskiftet.