Maksimum og minimum for funksjoner av flere variable

[cammamor]

Gitt funksjonen f(x,y) = ln(x^2 + y^2 + 1) definert for alle x og y

a) Forklar at f(x,y) er større enn eller lik 0 for alle (x,y)

b) Hva blir funksjonens minimum?

c) Har funksjonen noe maksimum?

Har fasitsvarene, men det hjelper så lite når jeg ikke skjønner åssen de har regnet det ut...

[sEirik]

a) Når f(x,y) er større enn eller lik 0 er det fordi [tex]x^2 + y^2 + 1[/tex] er større enn eller lik 1. (Dette følger av elementær logaritmeregning)
Og siden et kvadrat alltid er positivt (vi regner vel med reelle tall her), så er [tex]x^2[/tex] og [tex]y^2[/tex] positive hver for seg, og da er opplagt [tex]x^2 + y^2 \ge 0[/tex], og dermed [tex]x^2 + y^2 + 1 \ge 1[/tex]

b) Funksjonen har selvfølgelig minimum når [tex]x^2 + y^2 + 1[/tex] har minimum, og dette må jo nødvendigvis være når kvadratene har minimum, altså når [tex]x^2[/tex] og [tex]y^2[/tex] er lik 0. Dette er jo i punktet (0,0).

c) Funksjonen kan ikke ha noe maksimum, siden kvadratene [tex]x^2[/tex] og [tex]y^2[/tex] vokser over alle grenser når x og y vokser.