hej! jag har stött på ett problem där jag behöver beräkna [tex]\sin M(x)[/tex], där [tex]M(x) = \left(\begin{array}{cc}x&1\\0&-x\end{array}\right)[/tex]
jag visste inte ens att man kunde beräkna sinus av en matris på detta viset. men jag kikade i maple och där står det att svaret tydligen ska bli [tex]\left(\begin{array}{cc}\sin x&\frac{\sin x}{x}\\0&-\sin x\end{array}\right)[/tex]
någon som kan visa hur man kommer fram till detta?
sinus
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Jeg har ikke vært borti dette før, men følgende framgangsmåte virker naturlig:
Bruk en kjent identitet sammen med Taylorutviklinga til matrisa M: [tex]2i\sin M = e^{iM}-e^{-iM} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(iM)^k}{k!} - \sum_{k=0}^\infty \frac{(-iM)^k}{k!}[/tex]
Da trenger du kun å se på matrisa komponentvis og vil nok fort kjenne igjen noen velkjente rekker. Jeg endte i alle fall opp med resultatet du viser. Godt mulig det fins smartere måter.
Skriv gjerne litt mer om hva du holder på med/bruker dette til!
Bruk en kjent identitet sammen med Taylorutviklinga til matrisa M: [tex]2i\sin M = e^{iM}-e^{-iM} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(iM)^k}{k!} - \sum_{k=0}^\infty \frac{(-iM)^k}{k!}[/tex]
Da trenger du kun å se på matrisa komponentvis og vil nok fort kjenne igjen noen velkjente rekker. Jeg endte i alle fall opp med resultatet du viser. Godt mulig det fins smartere måter.
Skriv gjerne litt mer om hva du holder på med/bruker dette til!
Det er slik man definerer funksjoner evaluert på matriser, forutsatt at de har en Taylorrekke naturligvis, slik at dette er veldefinert. Problemet blir altså nå å finne et generellt uttrykk av [tex]M^k[/tex]. Det er veldig nyttig i forbindelse med systemer av differensiallinger vet jeg iallfall..
hmm.. har försökt tänka mig hur jag från det här uttrycket ska komma fram till svaret som maple ger, men lyckas inte riktigt se det.. du har inte lust att visa mig hur du gör?mrcreosote skrev:Jeg har ikke vært borti dette før, men følgende framgangsmåte virker naturlig:
Bruk en kjent identitet sammen med Taylorutviklinga til matrisa M: [tex]2i\sin M = e^{iM}-e^{-iM} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(iM)^k}{k!} - \sum_{k=0}^\infty \frac{(-iM)^k}{k!}[/tex]
Da trenger du kun å se på matrisa komponentvis og vil nok fort kjenne igjen noen velkjente rekker. Jeg endte i alle fall opp med resultatet du viser. Godt mulig det fins smartere måter.
Skriv gjerne litt mer om hva du holder på med/bruker dette til!
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Start med å regne ut noen potenser av iM for å finne et mønster.
[tex]iM = \left(\begin{array}{cc}ix&i\\0&-ix\end{array}\right) \\ (iM)^2 = \left(\begin{array}{cc}-x^2&0\\0&-x^2\end{array}\right) \\ (iM)^3 = \left(\begin{array}{cc}-ix^3&-ix^2\\0&ix^3\end{array}\right) \\ (iM)^4 = \left(\begin{array}{cc}x^4&0\\0&x^4\end{array}\right) \\ (iM)^5 = \left(\begin{array}{cc}-x^5&ix^4\\0&-ix^5\end{array}\right)[/tex]
(-iM)^k finner du nå lett, og får
[tex]\frac{iM-(-iM)}{2i} = \left(\begin{array}{cc}x&1\\0&-x\end{array}\right) \\ \frac{iM^2-(-iM)^2}{2i} = \left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right) \\ \frac{iM^3-(-iM)^3}{2i} = \left(\begin{array}{cc}-x^3&-x^2\\0&x^3\end{array}\right) \\ \frac{iM^4-(-iM)^4}{2i} = \left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right) \\ \frac{iM^5-(-iM)^5}{2i} = \left(\begin{array}{cc}x^5&x^4\\0&-x^5\end{array}\right)[/tex]
Nå gjetter du kanskje mønsteret. Det kan vises ved induksjon. Når dette er gjort er det i grunnen bare å sette inn i Taylorrekka og se at du får akkurat det Maple ga deg.
[tex]iM = \left(\begin{array}{cc}ix&i\\0&-ix\end{array}\right) \\ (iM)^2 = \left(\begin{array}{cc}-x^2&0\\0&-x^2\end{array}\right) \\ (iM)^3 = \left(\begin{array}{cc}-ix^3&-ix^2\\0&ix^3\end{array}\right) \\ (iM)^4 = \left(\begin{array}{cc}x^4&0\\0&x^4\end{array}\right) \\ (iM)^5 = \left(\begin{array}{cc}-x^5&ix^4\\0&-ix^5\end{array}\right)[/tex]
(-iM)^k finner du nå lett, og får
[tex]\frac{iM-(-iM)}{2i} = \left(\begin{array}{cc}x&1\\0&-x\end{array}\right) \\ \frac{iM^2-(-iM)^2}{2i} = \left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right) \\ \frac{iM^3-(-iM)^3}{2i} = \left(\begin{array}{cc}-x^3&-x^2\\0&x^3\end{array}\right) \\ \frac{iM^4-(-iM)^4}{2i} = \left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right) \\ \frac{iM^5-(-iM)^5}{2i} = \left(\begin{array}{cc}x^5&x^4\\0&-x^5\end{array}\right)[/tex]
Nå gjetter du kanskje mønsteret. Det kan vises ved induksjon. Når dette er gjort er det i grunnen bare å sette inn i Taylorrekka og se at du får akkurat det Maple ga deg.