Løsningsforslag og vurderinger av en merkelig funksjon

[stinelise]

Hei igjen ! Er det noen som kan hjelpe meg med denne please. Jeg har prøvd å finne et løsningsforslag, men det var ingen av vennene mine som klarte å løse den. Skal ta et mattekurs som privatist, og sliter når jeg ikke finner ordentlige løsningsforslag....

Funksjonen er litt rar, men kanskje noen av dere skjønner det. Det er liksom to likninger som skal være med i f(x)...er det noen av dere som skjønner dere på dette ?


f(x)= {
(1+x+x^2/2)e^-x , x større lik 0
(1-x+x^2/2)e^x , x mindre enn 0

på R

a) Avgjør hvor f er kontinuerlig, og hvor den er deriverbar

b) Finn eventuelle lokale maksimums eller minimumspunkt til f.

c) Avgjør hvilke intervaller f er konveks, og hvilke er konkav.


Håper det er noen snille og smarte folk her som kan gi meg et løsningsforslag.

Hilsen,

Stine

[bartleif]

Ser funksjonen

[tex]f(x)= \{(\frac{x^2}{2}+x+1)e^{-x}\, \, ,x\in[0,\right>\\ (\frac{x^2}{2}-x+1)e^x\, \, ,x\in <\leftarrow,0>[/tex]

slik ut?

Hvorfor er den så uvanlig tror du? Kan det påvirke kontinuiteten?

f(x) trengte to funksjonsuttrykk, et for x større eller lik 0, og et for x mindre enn 0. Men resultatet er diskontinuitet.

Hvorfor? Jo, fordi den er ikke sammenhengende i punktet hvor man byttet mellom funksjonsuttrykkene i f(x)

For å finne evetuelle maksima/minima deriverer man f(x).

[tex]\frac{d}{dx}f(x)=\{(x+1)e^{-x}-(\frac{x^2}{2}+x+1)e^{-x}\\ (x-1)e^x+(\frac{x^2}{2}-x+1)e^x[/tex]

Og setter hver av disse lik 0. Det kan du få gjøre selv

På den siste oppgaven kan du undersøke monotoniegenskapene til f(x).
Det gjøres ved å finne den andreordensderiverte og lage fortegnslinje for denne. Hvor [tex]f\prime\prime(x)=0[/tex] er et vendepunkt, [tex]f\prime\prime(x)>0[/tex] er konkav og [tex]f\prime\prime(x)<0[/tex] er konveks.

Her har du mitt løsningsforslag, finnes vel noen med en bedre forklaring for hvorfor det er to funksjonsuttrykk, kanskje de kommer med et bidrag

Edit: Fikset på feiltolkningen og resten av utregningen. Når dere finner topp/bunnpunkt kan dere være vennlig å skrive svarene her? Og gjerne intervallene i del tre også

[Aerian]

sitter her og tenker på samme oppgave.
egentlig er det vel bare (x^2) som skal være delt på 2

f(x)= {
(1+x+(x^2/2))e^-x , x større lik 0
(1-x+(x^2/2))e^x , x mindre enn 0

ser ikke hvordan jeg får dette til.
skal tenke litt på det du skreiv, men om du kan hjelpe med denne hadde det vært fint

takk

[bartleif]

Logikken er den samme.

Er fortsatt ikke kontinuerlig siden det er 2 funksjonsuttrykk i en funksjon.(Kunne vært det selvom det bare var en og da)

Den har toppunkt/bunnpunkt hvor [tex]f^\prime(x)=0[/tex]

Og monotoniegenskapene bestemmes ved samme prosess.
[tex]f^{(2)}(x)=0[/tex], gir vendepunkt.
[tex]f^{(2)}(x)>0[/tex], gir konkave intervall og [tex]f^{(2)}(x)<0[/tex] gir konvekse intervall.

[arildno]

Detter er vrøvl, bartleif.
Funksjonen er kontinuerlig som bare rakkern.

[bartleif]

Bra du sier i fra. Hvorfor er den kontinuerlig da? Er definitivt et lite hopp fra ene til andre funksjonen, skaper ikke dette diskontinuitet?
Som du vet er det ikke meg som trenger hjelpen (da det helt tydeligvis trengs her og!! men har bare hatt 2mx så langt..) er ukjent for meg dette. De som originalt trenger hjelpen ville vel satt pris på om du utdyper. Jeg og for den saks skyld.

[bartleif]

Detter er vrøvl, bartleif.

Lurer forresten på om alt jeg gjorde var like mye vrøvl eller bare det med kontinuitet?

[arildno]

Bra du sier i fra. Hvorfor er den kontinuerlig da? Er definitivt et lite hopp fra ene til andre funksjonen, skaper ikke dette diskontinuitet?
Som du vet er det ikke meg som trenger hjelpen (da det helt tydeligvis trengs her og!! men har bare hatt 2mx så langt..) er ukjent for meg dette. De som originalt trenger hjelpen ville vel satt pris på om du utdyper. Jeg og for den saks skyld.

Kontinuitet i et punkt betyr at grenseverdien (hvis den fins!) der er lik med funksjonsverdien der.

Både fra høyre og venstre går funksjonsverdiene mot 1 når x går mot 0, det vil si 1 er en felles grenseverdi i 0.

Funksjonsverdien f(0) er enkelt regnet ut til å bli 0 den og!

Derfor er f kontinuerlig i x=0.

[arildno]

Detter er vrøvl, bartleif.

Lurer forresten på om alt jeg gjorde var like mye vrøvl eller bare det med kontinuitet?

Bare det med kontinuitet.
Ellers hadde jeg slått til enda hardere, og maltraktert tastaturet som substitutt-objekt..

[bartleif]

Hehe, takk for forklaringen Har hatt litt problemer med å forstå kontinuitetsbegrepet, så trengte en oppfrisker der. Så hvis grenseverdier går mot f(x) i punktet man kontrollerer er funksjonen kontinuerlig?

Hehe, godt tastaturet ikke fikk hardere omgang da, skal ha 2mx eksamen rett rundt hjørnet, så hadde ikke vært bra å gjøre alt feil

[Vektormannen]

Hvis [tex]\lim_{x \to 0^-} \ f(x) \ = \ \lim_{x \to 0^+} \ f(x)[/tex] så er funksjonen kontinuerlig i x = 0. Det er tilfelle her (tegn f.eks. opp i GeoGebra).

[BMB]

Hvis [tex]\lim_{x \to 0^-} \ f(x) \ = \ \lim_{x \to 0^+} \ f(x)[/tex] så er funksjonen kontinuerlig i x = 0.

Pirk;

Hvis [tex]\lim_{x \to 0^-} \ f(x) \ = \ \lim_{x \to 0^+} \ f(x) \ = \ f(0)[/tex] så er funksjonen kontinuerlig i x = 0.

[stinelise]

Ja, stemmer funksjonen er sånn som dette:

[tex]f(x)= \{(\frac{x^2}{2}+x+1)e^{-x}\, \, ,x\in[0,\right>\\ (\frac{x^2}{2}-x+1)e^x\, \, ,x\in <\leftarrow,0>[/tex]

Så den er kontinuerlig for alle R-tall da ?
Hvordan skal man avgjøre dette ? Er det et navn på en regel eller noe som sier det om grenseverdien ? Og hvis den er kontinuerlig for alle x, så er den vel også deriverbar for alle x ? Er det noen som vet hva som er navnet på sånne funksjoner som består av to likninger eller har de kanskje ikke noe spesielt navn ?

Dette stemmer vel:

Hvis [tex]\lim_{x \to 0^-} \ f(x) \ = \ \lim_{x \to 0^+} \ f(x)[/tex] så er funksjonen kontinuerlig i x = 0.

Pirk;

Hvis [tex]\lim_{x \to 0^-} \ f(x) \ = \ \lim_{x \to 0^+} \ f(x) \ = \ f(0)[/tex] så er funksjonen kontinuerlig i x = 0.

Tusen takk for svarene !

[BMB]

Funksjonen er kontinuerlig for både positive og negative verdier, fordi summer og produkter av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige (ja; det er en regel!). Det har nettopp blitt vist at den i tillegg er kontinuerlig i f(0).

Selv om funksjonen er kontinuerlig for alle x, trenger den ikke være deriverbar for alle x. Grenseverdien for stigningstallet til funksjonen må være den samme uavhengig av hvilken side man nærmer seg et punkt på grafen fra, for at et punktet skal være deriverbart. Stemmer dette for funksjonen din når x=0?