Klassisk mekanikk og lineær algebra
Lagt inn: 25/12-2010 17:28
Vi har en funksjon [tex]L(q_1,...,q_n,\dot{q}_1,...,\dot{q}_n,t)[/tex], der [tex]\dot{q}_i=\frac{\partial q_i}{\partial t}[/tex]. Vi utfører så en Legendre-transformasjon
[tex]H(q_1,...,q_n,p_1,...,p_n,t)=\sum_{i=1}^n \dot{q}_ip_i - L(q_1,...,q_n,\dot{q}_1,...,\dot{q}_n,t)[/tex]
der [tex]p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}[/tex]. Da må vi anta at matrisen [tex]\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_i\partial\dot{q}_j}[/tex] ikke er singulær.
Hamiltons første ligning gir at den inverse Legendre-transformasjonen være gitt ved [tex]\dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}[/tex] og
[tex]L(q_1,...,q_n,\dot{q}_1,...,\dot{q}_n,t)=\sum_{i=1}^n \dot{q}_ip_i - H(q_1,...,q_n,p_1,...,p_n,t)[/tex], og da må vi anta at matrisen [tex]\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial p_j}[/tex] ikke er singulær.
Men er [tex]\left|\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_i\partial\dot{q}_j}\right|\neq 0\Leftrightarrow \left|\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial p_j}\right|\neq 0[/tex] ?
[tex]H(q_1,...,q_n,p_1,...,p_n,t)=\sum_{i=1}^n \dot{q}_ip_i - L(q_1,...,q_n,\dot{q}_1,...,\dot{q}_n,t)[/tex]
der [tex]p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}[/tex]. Da må vi anta at matrisen [tex]\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_i\partial\dot{q}_j}[/tex] ikke er singulær.
Hamiltons første ligning gir at den inverse Legendre-transformasjonen være gitt ved [tex]\dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}[/tex] og
[tex]L(q_1,...,q_n,\dot{q}_1,...,\dot{q}_n,t)=\sum_{i=1}^n \dot{q}_ip_i - H(q_1,...,q_n,p_1,...,p_n,t)[/tex], og da må vi anta at matrisen [tex]\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial p_j}[/tex] ikke er singulær.
Men er [tex]\left|\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_i\partial\dot{q}_j}\right|\neq 0\Leftrightarrow \left|\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial p_j}\right|\neq 0[/tex] ?