nontrivial og trivial

[lodve]

Hva er det på norsk? takk

[FredrikM]

Ikke-triviell/triviell.

[lodve]

på matematisk ?

[Vektormannen]

Det kommer vel an på sammenhengen, men som regel mener man det samme som ordet betyr på norsk. Noe trivielt er noe som det ikke er noe spesielt ved, noe ordinært eller 'selvsagt'.

F.eks. har alle ligninger på formen [tex]a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = 0[/tex] den trivielle løsningen [tex](x_1, x_2, ..., x_n) = (0, 0, ..., 0)[/tex]. Hvis alle variablene er 0, så får du jo nettopp 0 på venstre side. Men denne løsningen er du sikkert enig i at det ikke er noe spesielt ved -- den forekommer jo i alle slike ligninger.

Kan du utdype i hvilken sammenheng du har kommet over disse ordene?

[lodve]

Hei, jo det var bare en oppgave jeg stusset over som ba meg om å finne ut om den hadde nontrivial solution for likningen

-3x1 + 5x2 - 7x3 = 0
-6x1 + 7x2 + x3 = 0

men jeg skjønner ikke hvordan man finner ut om ligninga er ikke triviell. kan noen her hjelpe meg?

[lodve]

bump!

[Vektormannen]

Hva med å prøve å løse systemet?

Evt. tenk på dette som ligninger for to plan. Er planene parallelle? Kan du ut fra det finne ut om ligningssettet har ikke-trivielle løsninger?

[lodve]

Hei, jeg skjønner jo at når to plan ikke skjærer hverandre så vil de ikke ha noen løsning, jeg har brukt elementær radoperasjon, men jeg klarer liksom ikke å finne den frie variabelen.

[Vektormannen]

Hvordan har du brukt elementære radoperasjoner da? (Jeg antar Gauss-eliminasjon?) Hva ender du opp med?

Hvis du har fullført Gauss-Jordan-eliminasjon bør du ende opp med
[tex]x_1 - 6x_3 = 0[/tex]
[tex]x_2 - 5x_3 = 0[/tex]
og da er det enklest om du lar [tex]x_3 = t[/tex] være fri variabel.

[lodve]

åja, jeg fikk samme svar som deg, men hvordan vet jeg hva som er fri variabel? riktig Gauss eliminasjonsmetode

[Vektormannen]

Du kan velge hvilken du vil som fri variabel. Det er enklest her å velge [tex]t = x_3[/tex]. Da har du umiddelbart at [tex]x_1 = 6t[/tex] og [tex]x_2 = 5t[/tex] -- altså vil alle tripler [tex](6t, 5t, t)[/tex] passe inn i ligningen (dette kan du jo lett sjekke ved å teste ut noen t-verdier, eller sette inn selve uttrykkene og se at du får 0.)

Men du kan like gjerne velge [tex]s = x_1[/tex] som fri variabel. Da har du [tex]x_3 = \frac{1}{6}s[/tex] og videre at [tex]x_2 = 5x_3 = 5 \cdot \frac{1}{6}s = \frac{5}{6}s[/tex]. Altså har du at alle tripler [tex](s, \frac{5}{6}s, \frac{1}{6}s)[/tex] også passer inn i ligningen. Men ser du litt nøye på dette, så ser du at dette gir akkurat den samme mengden med tripler som når [tex]x_3[/tex] velges som parameter. Lar man [tex]s = 6t[/tex] så får man nettopp det samme som ovenfor.

[lodve]

Hei, setter virkelig pris på at du hjelper meg

x1 - 3x2 + 7x3 = 0
-2x1 + x2 - 4x3 = 0
x1 + 2x2 + 9x3 = 0

ligningssystemet har ingen ikke-triviell løsning fordi det ikke finnes fri variabel fordi x1 = 0, x2 = og x3 = 0? fordi jeg har dette svaret to ganger nå, og har dessverre ingen fasitsvar på den.

[Vektormannen]

Hva mener du med at det ikke finnes fri variabel fordi den har triviell løsning? I den oppgaven du postet ovenfor var det både den trivielle null-løsningen (t = 0) og ikke-trivielle løsninger ([tex]t \neq 0[/tex]).

[lodve]

åja, ser den Du ga meg et klarere bildet nå

[Vektormannen]

Flott

For å summere det opp: slike ligningssett, med ligninger det står 0 på høyre side (kalles homogene ligninger), har alltid den trivielle null-løsningen. Som forklart over, dersom alle variablene er 0, så får du jo 0 på venstre side, og da må [tex]x_1 = x_2 = ... = x_n = 0[/tex] være en løsning.

Men i tillegg kan ligningssettet ha flere løsninger (ikke-trivielle) og det er dette oppgavene ber deg om å undersøke. Når du utfører Gauss-eliminasjonen, ender du opp med en eller flere frie variabler, ellers ender du opp med enere langs diagonalen (altså kun null-løsningen.)