topp eller bunnpunkttest for to variable

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
gill
Leibniz
Leibniz
Innlegg: 993
Registrert: 24/03-2008 19:04

Prøver å se mattematikken i slutten av et bevis for second derivative test. Ser ut som det bare er et mattematisk problem:

Vi har fått at i punktet (a,b) som er et topp eller bunnpunkt siden

[tex]f_x=f_y=0[/tex]

har vi c som variabel som er en parameter for et tillegg til a og b som gir
f(a+h,b+k) - f(a,b). Hvis uttrykket er positivt er det et bunnpunkt og at det er negativt hvis det er toppunkt.

Vi kaller [tex]f(a+h,b+k)-f(a,b)=\frac{1}{2}(h^2f_{xx}+2hkf_{xy}+k^2f_{xy})[/tex]

som er fra et taylorpolynmial som er vist i beviset jeg har lagt ved nederst

Vi kaller høyresiden når vi fjerner 1/2 for Q(c) hvor c er paramteren

(a+ch,b+ck) for f(a,b) slik at Q viser om f(a+h,b+k)-f(a,b) er positivt eller negativt

Det jeg lurer på er:

De skriver at

[tex]Q(c)(h^2f_{xx}+2hkf_{xy}+k^2f_{xy})[/tex]

Og hvis c er liten vil dette vise om det er et toppunkt eller bunnpunkt

De ganger Q(c) med [tex]f_{xx}[/tex] og omarrangerer. Siden Q(c) er cirka det samme som Q(0) for små verdier av c kan vi bruke Q(0) istedenfor Q(c) og får:



[tex]f_{xx}Q(0)=(hf_{xx}+kf{xy})^2+(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2)k^2[/tex]


Fra denne ligningen skal vi se at Q(0) må være positiv hvis

[tex]f_{xx}<0[/tex] og [tex]f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2>0[/tex]

Og hvis Q(0) er positiv er det et bunnpunkt. Men jeg ser ikke hvordan man ser det fra opplysningene. Det jeg lurer på er hva med fortegnet til [tex]f_{xy}[/tex]? Skal også vise at det er topp og saddelpunkt fra samme ligning men spør om denne først. Hele beviset er her:

http://bildr.no/view/849075

andre del:

http://bildr.no/view/849077
ærbødigst Gill
Svar