rotasjon i planet

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
gill
Leibniz
Leibniz
Innlegg: 993
Registrert: 24/03-2008 19:04

Jeg lurer på hvordan man ser hvilken vei en matrise av egenvektorer P roterer aksene til et kjeglesnitt. Her er en oppgave

http://bildr.no/view/885639

her er fasit

http://bildr.no/view/885641

Jeg vet hvordan man finner P og at A er symmetrisk og at man kan bruke regneregler for å komme til svaret de kommer til. Men hvilken vei de blir rotert skjønner jeg ikke. Ja så var det et annet teoretisk problem her da:

Vi har ligningen:

[tex]x^TAx+Bx+f=0[/tex]

av og til er ikke

[tex]Bx+f[/tex] med. Hva gjør den for helheten til kjeglesnittet. I eksamensoppgaven over er den ikke med. Her er fra boka:

http://bildr.no/view/885657

http://bildr.no/view/885644

http://bildr.no/view/885645

http://bildr.no/view/885646

http://bildr.no/view/885647

I boka ser det ut som de roterer fra koordinater som har akser ikke langs xy-aksene men andre x'y'-akser ikke parallelt med xy-aksene. Hvis det stemmer hvordan vet man at det går?. Og rekkefølgen altså om man skriver

[tex]x*=Px[/tex]

eller

[tex]x=Px*[/tex] Her er x*=x' altså en vektor


[tex]x*=\begin{bmatrix} x* \\ y* \end{bmatrix}[/tex]

og x er da og en vektor

[tex]x*=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[/tex]

når man skriver om


[tex]x^TAx[/tex]

altså slik



[tex](Px*)^TAx=x*^TP^TAPx*=x*^TDx*=\lambda_1(x*)^2+\lambda_2(y*)^2[/tex]

hvordan vet man hvilke

[tex]\lambda[/tex] som hører til [tex](x*)^2[/tex] og [tex](y*)^2[/tex]

i utgangspunktet bruker man jo sammenhengene at [tex]\lambda_1[/tex] hører til [tex]v_1[/tex] men hvordan vet man hva som er [tex]\lambda_1[/tex] når man løser ligningen

[tex](A-I\lambda)v=0[/tex] og man får determinant lik 0 siden v ikke er 0-vektor:

[tex]|A-I\lambda|=0[/tex]

[tex]AP=PD[/tex] og vi vet at

[tex]P^{-1}=P^T[/tex] siden den er ortogonal som den blir når vi får enhetsvektorer for P som er ortogonale.

Ja flere spørsmål

hva blir forskjellen ved å bruke

[tex]x*=Px[/tex]

eller

[tex]x=Px*[/tex]

at

[tex](Px*)^TAx=x*^TP^TAPx*=[/tex]

har jeg skjønt ved å sette opp n ganger n matriser


Jeg klarer ikke å lese fra boka selvfølgelig om de roterer til de vanlige xy-aksene (ser ikke at de sier de skal gjøre det heller) da kunne jeg kanskje antatt at [tex]x=Px*[/tex] gjør det.

Hvis noen kan svare på noe av dette blir jeg veldig takksam:)
ærbødigst Gill
Svar