curl regnet ut ved symmetri

[gill]

jeg lurer på noe jeg forsøkte på i oppgave 5b

Jeg har skjønt hva de gjør i fasit. Jeg prøvde å løse den ved å integrere og ved å tenke på symmetri av overflaten. Jeg tenkte at curl fra h(y,x) ble 0 siden z var symmetrisk om x-aksen og y var slik at det var like mange komponenter neg i forhold til positive og curl ville bli 0. Det samme tenkte jeg for j-komponent av curl: 2yz. Like mye positive og neg y og z symmetrisk om x-aksen. Så sto jeg bare igjen med k-komponent curl. Skrev om til polar koordinater. Hvor jeg hadde definert

[tex]y=0,5rsin\theta[/tex] [tex]x=rcos\theta[/tex]

[tex]z=4-x^2-4y^2[/tex] ble da

[tex]z=4-r^2[/tex] (I)

brukte implicit surface for å skrive om:

[tex]\frac{\nabla F}{F_z}=2x,8y,1[/tex] (II)

n er jo uttrykket under delt på lengden til det siden vi skulle finne curl med n rettet oppover og omskrivningsfaktoren er jo lengden til (II) så da ble resultatet å rpikke k-komponent av (II) med (I) opphøyd i annen ganget med -1 og integrere det:

grensene mine var r=0 til r=1 og vinkel 0 til [tex]2\pi[/tex]


[tex]\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}-(4-r^2)^2r dr d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}-(16-8r^2+r^4) r dr d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}-16r+8r^3-r^5 dr d\theta=\int_{0}^{2\pi}-8r^2+2r^4-\frac{1}{6}r^6 ] d\theta[/tex]
setter inn grenser:

og ganger med [tex]2\pi[/tex]

[tex]-\frac{37}{6}2\pi=-\frac{37}{3}\pi[/tex]

men svaret i fasit er

[tex]-\frac{9}{2}\pi[/tex]