Operatorer og bilineære former

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
espen180
Gauss
Gauss
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Sted: Trondheim

Hvis [tex]V[/tex] er et n-dimensjonalt vektorrom med basis [tex]\{ v_1.,,.v_n\}[/tex], har vi rommet av lineære operatorer på [tex]V[/tex], [tex]\mathcal{L}(V)[/tex], og rommet av bilineære former på [tex]V[/tex], [tex]V^*\otimes V^*[/tex], med

[tex]\text{dim}\left(\mathcal{L}(V)\right)=\text{dim}\left(V^*\otimes V^*\right) = n^2[/tex].

En naturlig basis for [tex]\mathcal{L}(V)[/tex] er [tex]A_{jk} v_m = \delta_{km}v_j[/tex] og en naturlig basis for [tex]V^*\otimes V^*[/tex] er [tex]A_{jk}(v_l,v_m)=v_l^T A_{jk} v_m=\delta_{jl}\delta_{km}[/tex]

De er selvsagt isomorfe, men vil det her være naturlig å identifisere [tex]\mathcal{L}(V)[/tex] med [tex]V^*\otimes V^*[/tex] ? Det virker slik for meg, forutsatt at vi tolker [tex]v_l^T v_m = \< v_l , v_m\>=\delta_{lm} [/tex] som et indreprodukt.
Svar