integral

[gill]

Er det noen som vet hvordan man integrerer dette:

[tex]\int_{0}^{\infty}x^{1/2}e^{-mx}[/tex]

EDIT: Grunnen til at jeg spør er moment generating function til chi squared distribution blir utgreiet som i link her

http://bildr.no/view/1137122

og i linken står det og hva jeg ikke klarte å vise

(håper tekst er stor nok)

[Nebuchadnezzar]

Holder det ikke her bare å bruke definisjonen av gammafunksjonen? eg

[tex] \Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t} t^{z-1} \,\mathrm{d}z[/tex] ?

Videre så kon jo også gammafunksjonen vises via delvis integrasjon.

[gill]

Jeg får ikke til å vise den for oddetall delt på 2, Det blir et problem for chi som er et heltall delt på 2?

Det var forsåvidt det jeg prøvde på i linken for oddetall delt på 2 bare utelot noen trinn. Men kom ingen vei

[Nebuchadnezzar]

Hvorfor begynner du med delvis integrasjon? Det jeg skrev ovenfor er en formel som er artig å kunne.

skal du regne ut for eksempel

[tex]\int_{0}^{\infty} x^{\frac{11}{2} - 1} e^{-mx} \, \mathrm{d}x = \frac{\Gamma\left( \frac{11}{2}\right) }{m ^{11/2}}[/tex]

Kanskje du lurer på hvorfor dette stemmer ?
I så fall er det mye bedre og se på det generelle tilfellet, enn et spesifikt et.

[tex]\int_{0}^{\infty} x^{p - 1} e^{-mx} \, \mathrm{d}x = \frac{\Gamma\left( p\right) }{m ^{p}}[/tex]?

Det er jo et helt annet spørsmål, det første en gjør er at en setter [tex]u = mx[/tex]

Litt triksing og miksing (som jeg overlater til deg, som en liten øvelse) gjør at vi ender opp med

[tex]\frac{m}{m^{p-1}} \int e^{-u} u^{p-1} \, \mathrm{d}u [/tex]

hvor det siste integralet bare er det velkjente gammaintegralet, står en lang of fin utledning på wikipedia. Et hint er å sette opp et rekursivt integral, og ja... Resten faller ut av seg selv.

[gill]

fikk skrevet det om til gaussian integral men sliter litt med å vise det siden de bruker jacobian determinant for å integrere i polar koordinater for gaussian integral og den determinanten har jeg ikke bevis for. Noen som kan hjelpe?

Gaussian integral:

http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral

Det vil si sitedenfor å se på dette integralet

[tex]\int_{0}^{\infty}x^{1/2}e^{-mx}[/tex]

så jeg på

[tex]\int_{0}^{\infty}x^{-1/2}e^{-mx}[/tex]

og fjernet m som nebuzadnezzar viste over og skrev om med:




[tex]x=y^2[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Jeg ser ikke helt hva du prøver å vise?

Gamma funksjonen er definert som

[tex]\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{z-1} \mathrm{d}x[/tex]

En kan ikke utlede en definisjon.


Det vi kan gjøre er å finne ut hvordan denne funksjonen oppfører seg. Og finne nyttige sammenhenger. vi prøver også å se om vi kan finne noen eksakte verdier for ulike [tex]z[/tex].

For eksempel om [tex]z = -1/2[/tex] så har vi

[tex]\Gamma(-1/2) = \sqrt{\pi}[/tex] på grunn av det gauss-integralet du henviser til.

Vi har også at [tex]\Gamm(z) = (z-1)![/tex] dersom [tex]z[/tex] er et positivt heltall.
Oh det var denne sammenhenngen jeg mente du kunne vise via delvis integrasjon. Håper ikke det ble for uklart =)

Alternativt

[tex]I= \int_0^\infty x^{1/2} e^{-mx} \, \mathrm{d}x = \int_0^\infty x^{3/2 - 1} e^{-mx} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{m^{3/2}} \Gamma(3/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2m^{3/2}} \frac\sqrt{\pi}[/tex]

Hvor vi bruker at

[tex]\Gamma(1-z)\Gamma(z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}[/tex]

[gill]

http://www.scribd.com/doc/86251864/Mgf- ... stribution

Kan du forklare hvorfor jeg kan unngå gaussian integral. Sånn som jeg ser det så er det umulig å bevise det uten å definere gaussian integral og?

[Nebuchadnezzar]

Gamma funksjonen i seg selv har ingenting å gjøre med det gaussiske integralet per se. (Dog har Gauss bidratt svært mye til formler og sammenhenger tilknyttet Gamma funksjonen, sammen med blant andre Euler og Lagrange)

En spesial verdi av gammafunksjonen gir dette integralet. (gauss)
De ulike formelene og sammenhengene vi har for gamma trengs ikke å utledes ved å bruke dette integralet.

Sevlfølgelig kan en gjøre det, men jeg ser bare ikke helt vitsen.
Ingenting stopper deg fra å sette inn z = 1/2 og regne ut the gaussiske integralet.

Så lenge en har definisjonen av gamma, og har en eller annen måte å finne ut de ulike sum og produktformlene, ser jeg ikke noen grunn til å trenge å bruke gauss overhodet.

http://www.frm.utn.edu.ar/analisisdsys/ ... _gamma.pdf

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/ ... s/chan.pdf

En god del sammenhenger og utledninger her, uten bruk av det gaussiske integralet.

EDIT:

Når du er kommet frem til

[tex]\int_0^\infty e^{-\frac{1-2t}{2}x} \ \cdot x^{\frac{n}{2}-1} \mathrm{d}x[/tex]

Så kan du videre bare bruke definisjonen av gammafunksjonen

I integralet ditt så er jo [tex]p = \frac{n}{2}[/tex] og [tex]m = -\frac{1-2t}{2}[/tex]
Så er jo resten bare slavisk innsetning. Siden vi har at

[tex] \Gamma(z)\frac{1}{m^p} = \int_0^\infty e^{-mt} t^{p-1} \,\mathrm{d}z[/tex]

Og ja, du vet [tex]p[/tex] og du vet [tex]m[/tex]

[gill]

Jeg ser at man får

[tex]\Gamma(1/2)[/tex] i både teller og nevner og at det kanselleres. Men la oss helt hypotetisk selvfølgelig si at dette ikke kan defineres. Da hadde man hatt et problem med å bevise det sant?

[Nebuchadnezzar]

Hva mener du ikke kan defineres? Mener du at det å dele på noe over og under brøkstreken ikkke kan defineres.

Ønsker du å regne ut [tex]\Gamma\left( \frac{1}{2}\right)[/tex]?

Jeg har problemer med å forstå hva du ønsker å bevise regne ut?

Ønsker du å bevise det gaussiske integralet er jo det fint.

Om du nekter å si at vi kan bruke gammafunksjonen blir jo dette bare absurd, da allerede funksjonen din [tex]f(x)[/tex] bruke gamma.

[gill]

Hva mener du ikke kan defineres? Mener du at det å dele på noe over og under brøkstreken ikkke kan defineres.

Ønsker du å regne ut [tex]\Gamma\left( \frac{1}{2}\right)[/tex]?

Jeg har problemer med å forstå hva du ønsker å bevise regne ut?

Ønsker du å bevise det gaussiske integralet er jo det fint.

Om du nekter å si at vi kan bruke gammafunksjonen blir jo dette bare absurd, da allerede funksjonen din [tex]f(x)[/tex] bruke gamma.

Gammafunksjonen for heltall kan enkelt forklares gammafunksjonen for heltall+0.5 gir for eksempel et gausisk integral til slutt. Jeg foretrekker ikke å bare stole på en gamma funksjon hvis jeg ikke har bevist at den fungerer for heltall+0.5. Hvis det var det du mente? For min måte å lære på liker jeg å bevise alt sammen hvis ikke blir det bare surr for meg hehe


EDIT

Sorry. Jeg ser endelig poenget ditt (jaddda tok sin tid hehe beklager alle spørsmålene). Integralene blir bare kansellert. Hvis de er definerte ser jeg at det går opp. Men da bør man kanskje bevise at gamma med 0.5 er definert. Man må vel det for å bevise at det går opp?

Uansett trenger jeg gauss integral til andre bevis hehe

[Nebuchadnezzar]

Det jeg sier til deg er at

[tex]\Gamma(n+1/2)[/tex] ikke er definert utifra det gaussiske integralet

=)

[gill]

Takk

[Nebuchadnezzar]

at [tex]\Gamma(n/2)[/tex] er definert trenger vi ikke å vise, det eneste vi trenger er at [tex]\Gamm(n/2)[/tex] ikke er null.

funksjonen vår er strengt voksende når n>0 (utifra oppgaven antar jeg at vi kan anta dette)

Siden integralet er positivt, så er det ikke null. Videre så er funksjonen også kontinuerlig.

Om du vil vise at [tex]\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}[/tex] kan du for eksempel bruke beta funksjonen (som er lett å bevise) og sette [tex]y=x=1/2[/tex]

Eller bruke sammenhengen jeg skrev et par innlegg over. Eulers refleksjonsformel, dog klarer ikke du å bevise den. (Jeg hadde store problemer med å lese beviset selv. Men det står i første lenke jeg gav deg.)

Å bevise det gaussiske integralet er ikke spesielt vanskelig heller, men artig. Det eneste jeg prøvde å si er at en ikke trenger å bruke dette integralet når vi har med Gamma å gjøre.

[gill]

har du bevis for jacobian. Vet du om det kan bevises?