formelldef. grense bevis

[mstud]

Hei!

Har en oppgave her som jeg ikke kommer helt i gang med (det er ikke den samme som Kork skrev om i sted):



Noen som har et hint de vil komme med? Eg ser at det er slik som eg skal få bevise, men kommer ikke helt i gang med å sette opp uttrykket.

[Vektormannen]

Først og fremst må de to grensene oversettes til definisjonen. Vi vet at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] finnes det en [tex]R_1[/tex] slik at [tex]x > R_1 \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex], og vi vet at for en hver B > 0 eksisterer det en [tex]R_2[/tex] slik at [tex]x > R_2 \ \Rightarrow \ g(x) > B[/tex].

Det du har lyst til å vise er at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]R[/tex] slik at [tex]x > R \ \Rightarrow \ |f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex].

Det er egentlig ikke så mye som mangler nå. Hvordan kan du velge R? (Hint: Hva må g(x) være større enn for at [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex]?)

[mstud]

Først og fremst må de to grensene oversettes til definisjonen. Vi vet at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] finnes det en [tex]R_1[/tex] slik at [tex]x > R_1 \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex], og vi vet at for en hver B > 0 eksisterer det en [tex]R_2[/tex] slik at [tex]x > R_2 \ \Rightarrow \ g(x) > B[/tex].

Det du har lyst til å vise er at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]R[/tex] slik at [tex]x > R \ \Rightarrow \ |f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex].

Det er egentlig ikke så mye som mangler nå. Hvordan kan du velge R? (Hint: Hva må g(x) være større enn for at [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex]?)

Jeg vet ikke om jeg ser det...

Må g(x)>x ???

[Vektormannen]

Nei, ikke helt

Men er du med på at vi kan få [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex] hvis bare [tex]g(x)[/tex] er stor nok? Her er det viktig å ikke la seg forvirre av at det er g(x) i stedet for x. Hvis [tex]g(x) > R_1[/tex] så vil det implisere at [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex]. Er du med på det?

Kan vi klare å få [tex]g(x) > R_1[/tex]?

[mstud]

Nei, ikke helt

Men er du med på at vi kan få [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex] hvis bare [tex]g(x)[/tex] er stor nok? Her er det viktig å ikke la seg forvirre av at det er g(x) i stedet for x. Hvis [tex]g(x) > R_1[/tex] så vil det implisere at [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex]. Er du med på det?

Kan vi klare å få [tex]g(x) > R_1[/tex]?

Det er greit:)

Det vil jeg tro vi klarer Men jeg må vel prøve å finne ut hvordan...

[Vektormannen]

Vi vet at [tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty[/tex]. Det vil si at vi kan få [tex]g(x)[/tex] så stor vi bare vil, ved å gjøre x stor nok. Mer spesifikt vet vi da at det finnes et tall [tex]R_2[/tex] slik at når [tex]x > R_2[/tex] er [tex]g(x) > R_1[/tex]! (Dette var det jeg sa i det første innlegget også.)

Nå er beviset så og si fullført. Er du med på ideen?

[mstud]

Vi vet at [tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty[/tex]. Det vil si at vi kan få [tex]g(x)[/tex] så stor vi bare vil, ved å gjøre x stor nok. Mer spesifikt vet vi da at det finnes et tall [tex]R_2[/tex] slik at når [tex]x > R_2[/tex] er [tex]g(x) > R_1[/tex]! (Dette var det jeg sa i det første innlegget også.)

Nå er beviset så og si fullført. Er du med på ideen?

Ideen ser jeg nå, men er ikke helt sikker på føringen av det...

[Vektormannen]

Det kan sikkert føres på flere måter, men jeg tror noe sånt bør holde:

Siden [tex]\lim_{x \to \infty} f(x) = L[/tex] har vi at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]R_1[/tex] slik at [tex]x > R_1 \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex]. Fra [tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty[/tex] har vi at det eksisterer en [tex]R_2[/tex] slik at [tex]x > R_2 \ \Rightarrow \ g(x) > R_1 \ \Rightarrow \ |f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex].

[mstud]

Det kan sikkert føres på flere måter, men jeg tror noe sånt bør holde:

Siden [tex]\lim_{x \to \infty} f(x) = L[/tex] har vi at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]R_1[/tex] slik at [tex]x > R_1 \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex]. Fra [tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty[/tex] har vi at det eksisterer en [tex]R_2[/tex] slik at [tex]x > R_2 \ \Rightarrow \ g(x) > R_1 \ \Rightarrow \ |f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex].

Mange tusen takk for hjelpen!