Påvise ekstremalverdier

[Determined]

Kommer ingen vei med oppgaver av denne sorten:

Anta at f : R -> R er kontinuelig og har både positive og negative verdier. Anta også at

[tex]\lim_{x \to -\infty}f(x) = \lim_{x \to \infty}f(x) = 0[/tex]

Vis at f har maksimal- og minimalpunkter.

Det ned positive og negative verdier betyr jo at det finnes en c ett eller annet sted på R slik at f(c) = 0, men ser ikke hvordan dette skal hjelpe meg...

[Gustav]

Det er et teorem som sier at bildet av en kontinuerlig funksjon på en lukket og begrenset delmengde av [tex]\mathbb{R}[/tex] er lukket og begrenset.

Restriksjonen av f på en lukket og begrenset delmengde vil dermed ha et maksimum og minimum. (ekstremverditeoremet)

Så trikset for å vise at funksjonen har et maksimum er å vise at det fins en lukket og begrenset delmengde [tex]U\subset\mathbb{R}[/tex] slik at maksimumet til restriksjonen av f på U er større enn alle funksjonsverdiene til f på komplementet [tex]\mathbb{R}\setminus U[/tex].

EDIT:

Hint: Det fins en positiv verdi a slik at f(x)=a for en eller annen x. Vi vet også at det for enhver [tex]\epsilon>0 [/tex] fins en d slik at [tex]|f(x)|<\epsilon[/tex] når [tex]x>d[/tex]. I tillegg fins en e slik at [tex]|f(x)|<\epsilon[/tex] når x<e.

[Determined]

Takker for svar!

Jeg vet ikke om jeg skjønner dette helt. Men om jeg da velger et intervall [e,d] så har f maksimal- og minimalpunkter her som er større enn resten av R? I og med at funksjonen går mot 0 både [tex](-\infty,e)[/tex] og [tex](d,\infty)[/tex]?

I og med at jeg har funnet et intervall minimumspunktet og maksimumspunktet ligger på, så har f maksimums og minimums-punkter?

[wingeer]

Riktig dette. Du velger som plutarco sier [e,d] og bruker at bildet av en kont. over dette intervallet er begrenset (øvre og nedre) og lukket. Siden funksjonen er begrenset og kontinuerlig på lukket intervall => min og maks eksisterer. Siden funksjonen "forsvinner" utenfor ved antagelse har vi vist hva som skulle vises.

[Determined]

Takk for hjelpen!

Syns det er vanskelig å resonnere rundt ting som dette, som i utgangspunktet er veldig intuitivt...

Men det er vel nødvendig å klare dette for høyere nivåer av matematikk...

[Aleks855]

Hvis du lever opp til nicket ditt, så kan jeg love deg at dersom du fortsetter å jobbe med områder du syns er intuitivt og uintuitivt, så vil du få ressoneringsevner som det oser av. Og sånt ser fett ut når sensor ser over eksamensbesvarelsen din