Heisann:)
Hvis jeg har en egenverdi som er 0 og en som er negativ. Blir det lineariserte systemet stabilt eller lokalt asymptotisk stabilt da?
Slik jeg har forstått det er:
Egenverdier < 0
Linearisert: Asymptotisk stabilt
Ikke-lineært: Lokalt asymptotisk stabilt
Egenverdier <= 0
Linearisert: Stabilt/LAS?
Ikke-lineært: Uvisst?
Egenverdier > 0
Ustabilt
Hvis egenverdien har en imaginær enhet er det realdelen som bestemmer, og betegnelsene blir samme som over? Noen som kan oppklare litt for meg?
Takk på forhånd:)
Stabilitet av lineært system
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hei,
helt generelt så kan man si at for lineære systemer så vil stabilitets-analysen være global, mens for ulineære systemer vil analysen være lokal.
For en lineariseringsanalyse av systemer som er i en tilstand hvor ingen av egenskapene varierer med tid (steady state) har vi:
- lokalt asymptotisk stabilitet (LAS) hvis realdelene til alle egenverdiene er negative
- ustabilitet hvis realdelen til minst en av egenverdiene er positiv
- uavklart hvis realdelen til en av egenverdiene er lik 0.
Vi trenger altså andre metoder for å fastslå stabilitet hvis realdelen til en egenverdi er lik 0 og de andre egenverdiene har negativ realdel. Grunnen til dette er når man får egenverdier med realdel lik 0, vil systemet oppføre seg som en udempet oscillator. Dette er ikke direkte ustabilt i seg selv, men siden enhver forstyrring i systemet vil føre systemet ut av steady state, uten at man kan komme tilbake, klassifiserer man ofte dette som ustabilt. Dette er altså en ugunstig situasjon fra et design-synspunkt.
Det stemmer at det er realdelen som bestemmer stabilitet, og ikke imaginærdeler. Fortegnet på imaginærdelen sier derimot noe om faseskiftingen til oscillasjonen, men er ikke avgjørende for stabilitet!
helt generelt så kan man si at for lineære systemer så vil stabilitets-analysen være global, mens for ulineære systemer vil analysen være lokal.
For en lineariseringsanalyse av systemer som er i en tilstand hvor ingen av egenskapene varierer med tid (steady state) har vi:
- lokalt asymptotisk stabilitet (LAS) hvis realdelene til alle egenverdiene er negative
- ustabilitet hvis realdelen til minst en av egenverdiene er positiv
- uavklart hvis realdelen til en av egenverdiene er lik 0.
Vi trenger altså andre metoder for å fastslå stabilitet hvis realdelen til en egenverdi er lik 0 og de andre egenverdiene har negativ realdel. Grunnen til dette er når man får egenverdier med realdel lik 0, vil systemet oppføre seg som en udempet oscillator. Dette er ikke direkte ustabilt i seg selv, men siden enhver forstyrring i systemet vil føre systemet ut av steady state, uten at man kan komme tilbake, klassifiserer man ofte dette som ustabilt. Dette er altså en ugunstig situasjon fra et design-synspunkt.
Det stemmer at det er realdelen som bestemmer stabilitet, og ikke imaginærdeler. Fortegnet på imaginærdelen sier derimot noe om faseskiftingen til oscillasjonen, men er ikke avgjørende for stabilitet!