Konvergens av delfølger i R^m

[Determined]

Hei, jeg har litt problemer med denne oppgaven. Den går ut på å bevise at hvis [tex]{\textbf{x}_n}[/tex] i [tex]R^m[/tex] konvergerer mot et punkt [tex]\textbf{x}[/tex], så konvergerer også alle delfølger av [tex]{\textbf{x}_n}[/tex] mot [tex]\textbf{x}[/tex].

Det som må være oppfylt da, er jo at det for enhver [tex]\epsilon > 0[/tex] finnes en [tex]N[/tex] slik at [tex]|\textbf{x}_{nk} - \textbf{x}| < \epsilon[/tex] for alle [tex]n \geq N[/tex].

Jeg har demed brukt trekantulikheten for å komme frem til dette:

[tex]|\textbf{x}_{nk} - \textbf{x}| = |\textbf{x}_{nk} - \textbf{x}_{n} + \textbf{x}_{n} - \textbf{x}| \leq |\textbf{x}_{nk} - \textbf{x}_{n}| + |\textbf{x}_{n} - \textbf{x}|[/tex]

Det siste leddet finner man jo lett en [tex]\epsilon > 0[/tex] til, men det er det første jeg er usikker på. Det er jo ganske intuitivt at det leddet også konvergerer, da leddene innad i absoluttverdien blir likere og likere etter jo lenger ut i følgen man kommer. Men jeg vet ikke helt hvordan jeg skal gripe det an matematisk...

[wingeer]

Bruker notasjonen [tex]x_n^{(i)}[/tex] til å bety det i-te komponentet av [tex]x_n[/tex]-vektoren.
Siden [tex]x_n \to x[/tex] vet vi at det for hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer en [tex]N[/tex] slik at for alle [tex]n \geq N[/tex] så har vi at [tex]\| x_n - x \| < \epsilon[/tex]. Vi kjenner til normen for [tex]\mathbf{R}[/tex], så [tex]\| x_n - x \|^2 = \sum_{i=1}^m (x_n^{(i)} - x^{(i)})^2[/tex]. Ser du hvordan du kan bruke dette til å vise at [tex]|x_n^{(i)} - x^{(i)}| < \epsilon[/tex]?

[Determined]

Hum, nei, ser egentlig ikke den.

Hva har dette med delfølger å gjøre? Dette går vel mer ut på at hver komponent er konvergent om selve "vektoren" er det?

[Gustav]

Hum, nei, ser egentlig ikke den.

Hva har dette med delfølger å gjøre? Dette går vel mer ut på at hver komponent er konvergent om selve "vektoren" er det?

Ja,tror wingeer blandet sammen komponentfølge med delfølge.

En delfølge vil jo ha den egenskapen at det for alle N fins en K slik at $n_k>N$ for alle $k>K$. Så konvergensen følger av dette.

[Determined]

En delfølge vil jo ha den egenskapen at det for alle N fins en K slik at $n_k>N$ for alle $k>K$. Så konvergensen følger av dette.

Det du sier her er vel at du alltid kan gjøre delfølgen større (få flere elementer), slik at den vil konvergere mot det samme som den opprinnelige følgen.

Men er dette egentlig et formalt bevis?

Men takk for svar.

[wingeer]

Ja,tror wingeer blandet sammen komponentfølge med delfølge.

Wups. Sånn går det når man svarer sent på kvelden.

Alle konvergente følger er Cauchy I.e. for alle $\epsilon > 0$ finnes det en $N$ slik at for alle $n_1, n_2 >N $ har vi $ \| x_{n_1} - x_{n_2} \|< \epsilon$. Se derfor på $n,m>N$ for delfølgen og delfølgen vil være Cauchy => konvergent siden $\mathbf{R}^n$ er komplett.

[Determined]

Alle konvergente følger er Cauchy I.e. for alle $\epsilon > 0$ finnes det en $N$ slik at for alle $n_1, n_2 >N $ har vi $ \| x_{n_1} - x_{n_2} \|< \epsilon$. Se derfor på $n,m>N$ for delfølgen og delfølgen vil være Cauchy => konvergent siden $\mathbf{R}^n$ er komplett.

Hum. Det der var jo ganske smart, og enkelt og. I og med, som du sier, at alle Caychy-følger er konvergente, holder det jo å vise at leddet $|\textbf{x}_{n,k} - \textbf{x}_n| \leq \epsilon$. Men det stemmer jo åpenbart siden $\textbf{x}_n$ er konvergent og dermed en Cauchy-følge.

[Gustav]

Men er dette egentlig et formalt bevis?

Ja. Det er ikke behov for å trekke inn Cauchyfølger og kompletthet her (selv om wingeers bevis også er riktig).

Formell definisjon av delfølge: Strengt voksende funksjon $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$.

[Determined]

I en konvergent følge er absoluttverdien til elementene voksende mot en grense, og absoluttverdien til elementene i en delfølge vokser dermed like raskt eller raskere mot denne grensen, ergo er den også konvergent?

Takker!