matematikk.net

Hei! Har rekka: [tex]\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}[/tex]

Bruker grensesammenligningstesten: [tex]a_{n}=\frac{1}{n^2+1}[/tex], [tex]b_{n}=\frac{1}{n^2}[/tex]

[tex]\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{1}{n^2+1}\cdot \frac{n^2}{1}=\frac{n^2}{n^2+1}[/tex], [tex]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2}{n^2+1}\rightarrow \frac{\infty}{\infty}[/tex]

Bruker da L'Hopital: [tex]\lim_{n\rightarrow \infty}{}\frac{n^2}{n^2+1}=\frac{2n}{2n}\rightarrow 1[/tex]

Hva er det jeg gjør galt? Hvorfor sier fasit at rekka konvergerer?

Simen236 skrev:Hei! Har rekka: [tex]\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}[/tex]
Bruker grensesammenligningstesten: [tex]a_{n}=\frac{1}{n^2+1}[/tex], [tex]b_{n}=\frac{1}{n^2}[/tex]
[tex]\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{1}{n^2+1}\cdot \frac{n^2}{1}=\frac{n^2}{n^2+1}[/tex], [tex]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2}{n^2+1}\rightarrow \frac{\infty}{\infty}[/tex]
Bruker da L'Hopital: [tex]\lim_{n\rightarrow \infty}{}\frac{n^2}{n^2+1}=\frac{2n}{2n}\rightarrow 1[/tex]
Hva er det jeg gjør galt? Hvorfor sier fasit at rekka konvergerer?

vi ser iallfall at

[tex]\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{2}+\int_1^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}[/tex]

dvs summen er mindre enn 1,29

Simen236 skrev:Hei! Har rekka: [tex]\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}[/tex]

Bruker grensesammenligningstesten: [tex]a_{n}=\frac{1}{n^2+1}[/tex], [tex]b_{n}=\frac{1}{n^2}[/tex]

Bruker da L'Hopital: [tex]\lim_{n\rightarrow \infty}{}\frac{n^2}{n^2+1}=\frac{2n}{2n}\rightarrow 1[/tex]

Hva er det jeg gjør galt? Hvorfor sier fasit at rekka konvergerer?

Du gjør vel ikke noe galt som jeg ser. Men husk at 1/n^p konvergerer for p>0. Det står vel i boken din ? =)
Evnt så er $1/(n^2+1) < 1/n^2$ som konvergerer.

Hva er problemet? Resultatet du fikk viser jo nettopp at rekken konvergerer.

EDIT: Du forresten bruke \to istedenfor \rightarrow.