Hei!
Holder på å løse denne likningen for [tex]x_{n}: x_{n+2} + 2x_{n+1} + 4x_{n} = 0[/tex]
Har kommet frem til at løsningen for den karakteristiske likningen er [tex]1 \pm i\sqrt{3}[/tex]
Da får jeg skrevet svaret på formen: [tex]x_{n} = C\cdot r_{1}^{n} + D\cdot r_{2}^{n}[/tex] (1)
Mitt spørsmål er: Hvordan kommer man frem til og hvordan skal man tenke når man skal skrive svaret som i (2)?
[tex]x_{n} = E\rho ^{n}\cdot cos(n\Theta ) + F\cdot\rho^{n}\cdot sin(n\Theta )[/tex] (2)
.... og hva er egentlig forskjellen på disse?
Differenslikning 2 komplekse røtter
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]x_{n} = C\cdot r_{1}^{n} + D\cdot r_{2}^{n}[/tex]
[tex]x_{0} = C + D[/tex] (I)
[tex]x_{1} = C\cdot r_{1} + D\cdot r_{2}[/tex] (II)
Løser ligningssystemet (I) og (II)
[tex]x_{0} -D= C[/tex]
[tex]x_{1} = (x_{0} -D)\cdot r_{1} + D\cdot r_{2}[/tex]
[tex]x_{1} = x_{0}\cdot r_{1} + D( r_{2}-\cdot r_{1})[/tex]
[tex]\frac{x_{1} -x_{0}\cdot r_{1}}{ r_{2}-\cdot r_{1}}= D[/tex]
setter inn i (I)
[tex]x_{0} = C + \frac{x_{1} -x_{0}\cdot r_{1}}{ r_{2}-\cdot r_{1}}[/tex]
[tex]x_{0} = \frac{-x_{1} +x_{0}\cdot r_{2}}{ r_{2}-\cdot r_{1}} + \frac{x_{1} -x_{0}\cdot r_{1}}{ r_{2}-\cdot r_{1}}[/tex]
[tex]C= \frac{-x_{1} +x_{0}\cdot r_{2}}{ r_{2}-\cdot r_{1}}[/tex]
[tex]\frac{x_{1} -x_{0}(a+bi)}{(a-bi)-(a+bi)}= {D}[/tex]
[tex]\frac{x_{1} -x_{0}(a-bi)}{(a+bi)-(a-bi)}= \overline{D}[/tex]
[tex]C= \overline{D}[/tex]
komplekse tall har og formen
[tex]r_{2}= \rho cos\theta+i\rho sin\theta[/tex]
bruker fra nå
[tex]r_{1}= \overline{r_{2}}[/tex]
[tex]\overline{r_{2}}= \rho cos\theta-i\rho sin\theta=\rho cos(-\theta)+i\rho sin(-\theta)[/tex]
[tex]x_{n} = C\cdot r_{1}^{n} + D\cdot r_{2}^{n}= \overline{D}\cdot\overline{r_{2}}^{n} + D\cdot {r_{2}}^{n}=(A-Bi)\cdot(\rho cos(-\theta)+\rho sin(-\theta))^{n} + (A+Bi)\cdot (\rho cos\theta+i\rho sin\theta)^{n}[/tex]
[tex]x_{n} =(A-Bi)\cdot\rho^{n}(cos(-\theta)+isin(-\theta))^{n} + (A+Bi)\cdot\rho^{n} ( cos\theta+i sin\theta)^{n}[/tex]
bruker de moivres formel:
[tex]x_{n} =(A-Bi)\cdot\rho^{n}(cos(-n\theta)+i sin(-n\theta)) + (A+Bi)\cdot\rho^{n} ( cos(n\theta)+i sin(n\theta))[/tex]
[tex]x_{n} =\rho^{n}(A\cdot(cos(n\theta)-i sin(n\theta))-Bi\cdot(cos(n\theta)-isin(n\theta)) + A\cdot ( cos(n\theta)+i sin(n\theta))+Bi\cdot ( cos(n\theta)+i sin(n\theta)))[/tex]
[tex]x_{n} =\rho^{n}(A\cdot cos(n\theta)+Bi\cdot isin(n\theta) + A\cdot cos(n\theta)+Bi\cdot i sin(n\theta))[/tex]
[tex]x_{n} =\rho^{n}(2A\cdot cos(n\theta)-2B\cdot sin(n\theta))[/tex]
[tex]E=2A[/tex]
[tex]F=-2B[/tex]
[tex]x_{n} =\rho^{n}(E\cdot cos(n\theta)+F\cdot sin(n\theta))[/tex]
[tex]x_{0} = C + D[/tex] (I)
[tex]x_{1} = C\cdot r_{1} + D\cdot r_{2}[/tex] (II)
Løser ligningssystemet (I) og (II)
[tex]x_{0} -D= C[/tex]
[tex]x_{1} = (x_{0} -D)\cdot r_{1} + D\cdot r_{2}[/tex]
[tex]x_{1} = x_{0}\cdot r_{1} + D( r_{2}-\cdot r_{1})[/tex]
[tex]\frac{x_{1} -x_{0}\cdot r_{1}}{ r_{2}-\cdot r_{1}}= D[/tex]
setter inn i (I)
[tex]x_{0} = C + \frac{x_{1} -x_{0}\cdot r_{1}}{ r_{2}-\cdot r_{1}}[/tex]
[tex]x_{0} = \frac{-x_{1} +x_{0}\cdot r_{2}}{ r_{2}-\cdot r_{1}} + \frac{x_{1} -x_{0}\cdot r_{1}}{ r_{2}-\cdot r_{1}}[/tex]
[tex]C= \frac{-x_{1} +x_{0}\cdot r_{2}}{ r_{2}-\cdot r_{1}}[/tex]
[tex]\frac{x_{1} -x_{0}(a+bi)}{(a-bi)-(a+bi)}= {D}[/tex]
[tex]\frac{x_{1} -x_{0}(a-bi)}{(a+bi)-(a-bi)}= \overline{D}[/tex]
[tex]C= \overline{D}[/tex]
komplekse tall har og formen
[tex]r_{2}= \rho cos\theta+i\rho sin\theta[/tex]
bruker fra nå
[tex]r_{1}= \overline{r_{2}}[/tex]
[tex]\overline{r_{2}}= \rho cos\theta-i\rho sin\theta=\rho cos(-\theta)+i\rho sin(-\theta)[/tex]
[tex]x_{n} = C\cdot r_{1}^{n} + D\cdot r_{2}^{n}= \overline{D}\cdot\overline{r_{2}}^{n} + D\cdot {r_{2}}^{n}=(A-Bi)\cdot(\rho cos(-\theta)+\rho sin(-\theta))^{n} + (A+Bi)\cdot (\rho cos\theta+i\rho sin\theta)^{n}[/tex]
[tex]x_{n} =(A-Bi)\cdot\rho^{n}(cos(-\theta)+isin(-\theta))^{n} + (A+Bi)\cdot\rho^{n} ( cos\theta+i sin\theta)^{n}[/tex]
bruker de moivres formel:
[tex]x_{n} =(A-Bi)\cdot\rho^{n}(cos(-n\theta)+i sin(-n\theta)) + (A+Bi)\cdot\rho^{n} ( cos(n\theta)+i sin(n\theta))[/tex]
[tex]x_{n} =\rho^{n}(A\cdot(cos(n\theta)-i sin(n\theta))-Bi\cdot(cos(n\theta)-isin(n\theta)) + A\cdot ( cos(n\theta)+i sin(n\theta))+Bi\cdot ( cos(n\theta)+i sin(n\theta)))[/tex]
[tex]x_{n} =\rho^{n}(A\cdot cos(n\theta)+Bi\cdot isin(n\theta) + A\cdot cos(n\theta)+Bi\cdot i sin(n\theta))[/tex]
[tex]x_{n} =\rho^{n}(2A\cdot cos(n\theta)-2B\cdot sin(n\theta))[/tex]
[tex]E=2A[/tex]
[tex]F=-2B[/tex]
[tex]x_{n} =\rho^{n}(E\cdot cos(n\theta)+F\cdot sin(n\theta))[/tex]
ærbødigst Gill