Simen har nyttefunksjon N(x,y) = √x + 3√y , hvor x er kilo loff, og y er liter rødbrus.
Kiloprisen for loff er 200 og literprisen for rødbrus er 100. Simen har 300 og maksimerer nytten.
a) Sett opp langrangefunksjon, og bruk denne til å finne hvor mye loff og rødbrus Simen ønsker og kjøp.
Blir det videre: f(x,y)=√x + 3√y - L(200x + 100y – 300)
Noen som har noen forslag?
Langrangefunksjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi har [tex]N(x,y)=\sqrt(x)+3\sqrt(y)=x^{1/2}+3y^{1/2}[/tex], [tex]p_x=200[/tex], [tex]p_y=100[/tex], [tex]I=300[/tex], hvor [tex]x[/tex] er kilo loff og [tex]y[/tex] er liter rødbrus.
Problemet består i å maksimere [tex]N(x,y)[/tex] under betingelsen [tex]xp_x+yp_y=I[/tex]. Det vil si at du skal finne ut hvor mye loff og rødbrus Simen må kjøpe for å a) maksimere nytten og b) bruke opp all inntekten. Det ser ut til at du har begynt riktig med å sette opp Lagrangefunksjonen. Jeg ville satt den opp slik:
[tex]L=x^{1/2}+3y^{1/2}-\lambda(200x+100y-300)[/tex]
Neste skritt er å partiellderivere [tex]L[/tex] med hensyn på [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] og [tex]\lambda[/tex]:
(1) [tex]\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-200\lambda=0[/tex]
(2) [tex]\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{3}{2}y^{-\frac{1}{2}}-100\lambda=0[/tex]
(3) [tex]\frac{\partial L}{\partial \lambda}=200x+100y-300=0[/tex]
Videre ville jeg ha løst ligning (1) og (2) for [tex]\lambda[/tex]. Klarer du å løse resten?
Problemet består i å maksimere [tex]N(x,y)[/tex] under betingelsen [tex]xp_x+yp_y=I[/tex]. Det vil si at du skal finne ut hvor mye loff og rødbrus Simen må kjøpe for å a) maksimere nytten og b) bruke opp all inntekten. Det ser ut til at du har begynt riktig med å sette opp Lagrangefunksjonen. Jeg ville satt den opp slik:
[tex]L=x^{1/2}+3y^{1/2}-\lambda(200x+100y-300)[/tex]
Neste skritt er å partiellderivere [tex]L[/tex] med hensyn på [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] og [tex]\lambda[/tex]:
(1) [tex]\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-200\lambda=0[/tex]
(2) [tex]\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{3}{2}y^{-\frac{1}{2}}-100\lambda=0[/tex]
(3) [tex]\frac{\partial L}{\partial \lambda}=200x+100y-300=0[/tex]
Videre ville jeg ha løst ligning (1) og (2) for [tex]\lambda[/tex]. Klarer du å løse resten?
Uff her skjønner jeg virkelig meget lite, trenger noen hint til å starte utregningen. Meget sikker på at om du kanskje kunne gitt noen hint til å fylle ut ligning 1 så klarer jeg 2 videre, kommer ikke igang.. Begynner å rote meg borti eksponetial og ln.. 
Kanskje du ble forvirret ved at jeg brukte [tex]x^{1/2}[/tex] i stedet for [tex]\sqrt{x}[/tex]? Husk at disse er like 
Kan likevel forsøke å hjelpe deg videre. Vi har ligningene (1) og (2):
(1) [tex]\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-200\lambda=0[/tex]
(2) [tex]\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{3}{2}y^{-\frac{1}{2}}-100\lambda=0[/tex]
I (1) kan vi flytte [tex]-200\lambda[/tex] over til høyresiden: [tex]\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=200\lambda[/tex]. Deler vi så med [tex]200[/tex] på begge sider får vi:
(1) [tex]\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{200}=\lambda[/tex]
Klarer du å stille opp ligning (2) slik at [tex]\lambda[/tex] står alene på høyresiden?
Kan likevel forsøke å hjelpe deg videre. Vi har ligningene (1) og (2):
(1) [tex]\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-200\lambda=0[/tex]
(2) [tex]\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{3}{2}y^{-\frac{1}{2}}-100\lambda=0[/tex]
I (1) kan vi flytte [tex]-200\lambda[/tex] over til høyresiden: [tex]\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=200\lambda[/tex]. Deler vi så med [tex]200[/tex] på begge sider får vi:
(1) [tex]\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{200}=\lambda[/tex]
Klarer du å stille opp ligning (2) slik at [tex]\lambda[/tex] står alene på høyresiden?
Når du har ordnet ligning (2) slik at [tex]\lamda[/tex] står alene på høyresiden kan du sette venstresidene i ligning (1) og (2) lik hverandre (siden begge to er lik [tex]\lambda[/tex] må de nødvendigvis være like hverandre).
Det vil si:
Når
(1) [tex]\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{200}=\lambda[/tex]
(2) [tex]\frac{\frac{3}{2}y^{-\frac{1}{2}}}{100}=\lambda[/tex]
Da er venstresidene i (1) og (2) like:
[tex]\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{200}=\frac{\frac{3}{2}y^{-\frac{1}{2}}}{100}[/tex]
Rydder litt og finner:
[tex]\frac{1}{400\sqrt{x}}=\frac{3}{200\sqrt{y}}[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{y}}{400}=\frac{3\sqrt{x}}{200}[/tex]
[tex]\sqrt{y}=6\sqrt{x}[/tex]
[tex]y=36x[/tex]
Kan du nå sette inn for [tex]y[/tex] i [tex]\frac{\partial L}{\partial \lambda}[/tex]?
Det vil si:
Når
(1) [tex]\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{200}=\lambda[/tex]
(2) [tex]\frac{\frac{3}{2}y^{-\frac{1}{2}}}{100}=\lambda[/tex]
Da er venstresidene i (1) og (2) like:
[tex]\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{200}=\frac{\frac{3}{2}y^{-\frac{1}{2}}}{100}[/tex]
Rydder litt og finner:
[tex]\frac{1}{400\sqrt{x}}=\frac{3}{200\sqrt{y}}[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{y}}{400}=\frac{3\sqrt{x}}{200}[/tex]
[tex]\sqrt{y}=6\sqrt{x}[/tex]
[tex]y=36x[/tex]
Kan du nå sette inn for [tex]y[/tex] i [tex]\frac{\partial L}{\partial \lambda}[/tex]?