matematikk 4k ntnu

[velia]

systemer av OD.
1) y'1=y1+y2
2) y'2=-y1 + 3y2
y1(0) = 1, y2(0) = 0

Tar laplace av 1) og 2) og får

1) sy1(s) - y1(0) = y1(s) + y2(s)
2) sy2(s) = -y1(s) + 3y2(s)

videre:

1) sy1(s) -1 = y1(s) + y2(s)
2) sy2(s) = -y1(s) + 3y2(s)

løser 2 m.h.p. y1(s)

2) y1(s) = -sy2(s) + 3y2(s)

innsatt i 1

1) s(-sy2(s) + 3y2(s)) -1 = -sy2(s) + 3y2(s) + y2(s)

får

1) -s^2y2(s) + 3sy2(s)=-sy2(s) +3y2(s) +y2(s) +1

blir
1) (-s^2+4s-4)y2(s) = 1

får
1) y2(s) = -1/(s^2-4s +4) = -1/((s-2)*(s.2)) = A/(s-2) +B/(s-2)
og får A(s-2) +B(s-2) =-1
(A+B) = 0 og -2A-2B = -1
og får A = -B som gir 2B-2B = -1 umulig. noen som ser feilen jeg gjør?

[DennisChristensen]

systemer av OD.
1) y'1=y1+y2
2) y'2=-y1 + 3y2
y1(0) = 1, y2(0) = 0

Tar laplace av 1) og 2) og får

1) sy1(s) - y1(0) = y1(s) + y2(s)
2) sy2(s) = -y1(s) + 3y2(s)

videre:

1) sy1(s) -1 = y1(s) + y2(s)
2) sy2(s) = -y1(s) + 3y2(s)

løser 2 m.h.p. y1(s)

2) y1(s) = -sy2(s) + 3y2(s)

innsatt i 1

1) s(-sy2(s) + 3y2(s)) -1 = -sy2(s) + 3y2(s) + y2(s)

får

1) -s^2y2(s) + 3sy2(s)=-sy2(s) +3y2(s) +y2(s) +1

blir
1) (-s^2+4s-4)y2(s) = 1

får
1) y2(s) = -1/(s^2-4s +4) = -1/((s-2)*(s.2)) = A/(s-2) +B/(s-2)
og får A(s-2) +B(s-2) =-1
(A+B) = 0 og -2A-2B = -1
og får A = -B som gir 2B-2B = -1 umulig. noen som ser feilen jeg gjør?

Det er da enklere å anvende egenverdier og egenvektorer?

Skriv $\begin{pmatrix}
\frac{dy_1}{dx} \\
\frac{dy_2}{dx}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2
\end{pmatrix}$

som $\dot{y} = Ay$

Egenverdier:

$\det(A - xI) = det\begin{pmatrix} 1 - x & 1 \\ -1 & 3 - x \end{pmatrix} = (1-x)(3-x) + 1 = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$,
så vi har en repetert egenverdi $\lambda = 2$.

Finner $\vec{v_1} = \begin{pmatrix} p_1 \\ q_1 \end{pmatrix}$:
$A\vec{v_1} = 2\vec{v_1} \\
\therefore \begin{cases} p_1 + q_1 = 2p_1 \\ -p_1 + 3q_1 = 2q_1 \end{cases} \\
\therefore p_1 = q_1 \text{, så } \vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ vil duge.}$

Finner $\vec{v_2} = \begin{pmatrix} p_2 \\ q_2 \end{pmatrix}$:
$(A-2I) \vec{v_2} = \vec{v_1} \\
\therefore -p_2 + q_2 = 1 \text{, så } \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ vil duge.}$

Altså får vi den generelle løsningen
$y = c_1 e^{2x}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{2x}\begin{pmatrix} x \\ x + 1 \end{pmatrix}$.

$y_1 (0) = 1 \text{ gir } c_1 = 1 \\
y_2 (0) = 0 \text{ gir } c_1 + c_2 = 1 + c_2 = 0 \text{, så } c_2 = -1\text{, så vi får at } \\
y = e^{2x}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - e^{2x}\begin{pmatrix} x \\ x+1 \end{pmatrix} \\
= e^{2x}\begin{pmatrix} 1 - x \\ -x \end{pmatrix}$.

[janne69]

Takk for tipset. Det står at det skal brukes laplacetransformasjon