Differenslikning (kalkulus)

[kristoball1994]

Jeg har fått oppgitt differenlikningen xsub(n+2)=axsub(n) der a<0

Vi fant den generelle løsning: Xn=C(sqrta)^n+D(-sqrta)^n

Deretter fikk vi oppgitt startverdibetingelsene X0=0 og X1=1

Da finner vi for X0=0 at D=-C og da C=-D

Og for X1=1 at C=1/(2*sqrta) og D=-1(2*sqrta)

Vi blir så spurt om å avgjøre for hvilker verdier av a vi har at lim n->uendelig Xn=0


Hvordan gjør vi dette? Er vi helt på bærtur?

[lorgikken]

Jeg har fått oppgitt differenlikningen xsub(n+2)=axsub(n) der a<0

Vi fant den generelle løsning: Xn=C(sqrta)^n+D(-sqrta)^n

Deretter fikk vi oppgitt startverdibetingelsene X0=0 og X1=1

Da finner vi for X0=0 at D=-C og da C=-D

Og for X1=1 at C=1/(2*sqrta) og D=-1(2*sqrta)

Vi blir så spurt om å avgjøre for hvilker verdier av a vi har at lim n->uendelig Xn=0


Hvordan gjør vi dette? Er vi helt på bærtur?

bump

[Andreas345]

Minner på om at det å "bumpe" innlegg ikke vil gi fortere svar[tex]\dots[/tex]

Dette satt litt langt inne (vennligst korriger om jeg tar feil), men tror med det blir noe à la:

[tex]x_{n+2}=a\cdot x_n , \ \ a \ < \ 0[/tex]

[tex]r^2=a \Rightarrow r=\pm \sqrt{a}\cdot i[/tex]

Siden vi har to komplekse røtter på formen [tex]r_1[/tex] og [tex]\overline{r_1}[/tex] der [tex]r_1\not{\in} \ \mathbb{R}[/tex] så blir den generelle løsningen [tex]x_n=E \left (\sqrt{a} \cdot i \right)^n+\overline{E} \left(-\sqrt{a} \cdot i \right)^n[/tex] hvor [tex]E \in \ \mathbb{C}[/tex]

For å finne denne på reell form finner vi modulus og argument for [tex]r_1=\sqrt{a} \cdot i[/tex]

Reel form er gitt ved: [tex]x_n=C\rho^n \cos(n\theta)+D\rho^n \sin(n\theta)[/tex]

Vi har at [tex]\rho = a[/tex] og [tex]\theta = \frac{\pi}{2}[/tex] som videre gir [tex]x_n=C a^n \cos \left (n\frac{\pi}{2} \right)+D a^n \sin \left (n \frac{\pi}{2} \right)[/tex] hvor [tex]C, \, D \ \in \mathbb{R}[/tex]

Si i fra om du står fast videre.

[trymlang]

vil ikke r=±√a ?

[Andreas345]

vil ikke r=±√a ?

[tex]a \ < 0[/tex] dermed vil alle røtter være imaginær for alle verdier av a.

[DennisChristensen]

Minner på om at det å "bumpe" innlegg ikke vil gi fortere svar[tex]\dots[/tex]

Dette satt litt langt inne (vennligst korriger om jeg tar feil), men tror med det blir noe à la:

[tex]x_{n+2}=a\cdot x_n , \ \ a \ < \ 0[/tex]

[tex]r^2=a \Rightarrow r=\pm \sqrt{a}\cdot i[/tex]

Siden vi har to komplekse røtter på formen [tex]r_1[/tex] og [tex]\overline{r_1}[/tex] der [tex]r_1\not{\in} \ \mathbb{R}[/tex] så blir den generelle løsningen [tex]x_n=E \left (\sqrt{a} \cdot i \right)^n+\overline{E} \left(-\sqrt{a} \cdot i \right)^n[/tex] hvor [tex]E \in \ \mathbb{C}[/tex]

For å finne denne på reell form finner vi modulus og argument for [tex]r_1=\sqrt{a} \cdot i[/tex]

Reel form er gitt ved: [tex]x_n=C\rho^n \cos(n\theta)+D\rho^n \sin(n\theta)[/tex]

Vi har at [tex]\rho = a[/tex] og [tex]\theta = \frac{\pi}{2}[/tex] som videre gir [tex]x_n=C a^n \cos \left (n\frac{\pi}{2} \right)+D a^n \sin \left (n \frac{\pi}{2} \right)[/tex] hvor [tex]C, \, D \ \in \mathbb{R}[/tex]

Si i fra om du står fast videre.

Dette er feil.

Hvis $x_n = Ca^n\cos\left(n\frac{\pi}{2}\right) + Da^n\sin\left(n\frac{\pi}{2}\right)$ får vi at
$\begin{align*} x_{n+2} & = Ca^{n+2}\cos\left((n+2)\frac{\pi}{2}\right) + D a^{n+2}\sin\left((n+2)\frac{\pi}{2}\right) \\
& = a^2\left[Ca^n\cos\left(n\frac{\pi}{2} + \pi\right) + Da^n\sin\left(n\frac{\pi}{2} + \pi\right)\right] \\
& = a^2\left[-Ca^n\cos\left(n\frac{\pi}{2}\right) -Da^n\sin\left(n\frac{\pi}{2}\right)\right] \\
& = -a^2 x_n\end{align*}$.


Løsningsforslag: Gitt en differenslikning $x_{n+2} + \alpha x_{x+1} + \beta x_n = 0$ hvor den karakteristiske likningen $\lambda^2 + \alpha \lambda + \beta = 0$ har komplekse røtter,
har vi at den generelle løsningen er på formen $x_n = Cr^n\cos\left(\theta n\right) + Dr^n\sin\left(\theta n\right),$ der $r = \sqrt{\beta}, \text{ }cos \theta = -\frac{\alpha}{2\sqrt{\beta}}\text{ }$ og $C,D \in \mathbb{R}$ er konstanter.

Altså får vi at $r = \sqrt{-a} \text{ (husk at }a<0\text{)}$ og at $\omega = \frac{\pi}{2},$
så den generelle løsningen blir $x_n = C\sqrt{-a}^n\cos\left(n\frac{\pi}{2}\right) + D\sqrt{-a}^n\sin\left(n\frac{\pi}{2}\right),$ der $C,D \in \mathbb{R}$ er konstanter.