Hei!
Jeg sitter med følgende uttrykk:
[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^n[/tex]
Oppgaven er å finne det endelige uttrykket for summen ovenfor.
JEg ser at det er ei potensrekke, og det er noe som sier meg at [tex]e^x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}[/tex] skal brukes. Men jeg vet dessverre inte hvordan jeg skal løse ellers.
Takk for all hjelp!
Uttrykke summen
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Galois
- Innlegg: 598
- Registrert: 09/10-2012 18:26
Ok, forkorter og får [tex]\frac{n^2}{n!}[/tex]stensrud skrev:Hint:
\[\frac{n}{(n-1)!}=\frac{(n-1)+1}{(n-1)!}=\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}\]
setter inn:
[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{n!}x^n=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^2}{n!}n^2[/tex]
Hva kan jeg gjøre med n^2? JEg ser nå at uttrykket ligner mer på rekka til exp.
-
- Galois
- Innlegg: 598
- Registrert: 09/10-2012 18:26
Fortsetter fra sluttsvaret slik:plutarco skrev:[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^n=x\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^{n-1}=x\left ( x\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}x^{n}\right )'[/tex]ThomasSkas skrev:
[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^n[/tex]
[tex]x\left ( x\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!} \right )'=x(xe^x)'=x(e^x+xe^x)=e^x(x+x^2)[/tex]
MEN hvordan går du fra andre likhet til tredje likhet, altså, hvordan ser du at [tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^{n-1}=\left ( x\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!} \right )'[/tex]
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(x^n)'}{(n-1)!}=\left ( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n-1)!}\right)'=\left ( x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right)'$.ThomasSkas skrev: MEN hvordan går du fra andre likhet til tredje likhet, altså, hvordan ser du at [tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^{n-1}=\left ( x\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!} \right )'[/tex]
Så variabelskiftet $m=n-1$ i summen.