Kvantepolarisering

[mikki155]

Tenker først at tetthetsmatrisen kan skrives på formen:

[tex]\rho = a_0 (\bf{1}_3 + \bf{M} \cdot \bf{p})[/tex], hvor [tex]\bf{M}[/tex] er en polarisasjonsmatrise og [tex]\bf{p} = <\bf{M}>[/tex]

For upolarisert lys har vi i så fall [tex]\bf{M} = 0[/tex], slik at [tex]\rho[/tex] blir en diagonal matrise. For en tetthetsmatrise fås:

[tex]Tr[\rho] = 1 \Rightarrow 3a_0 = 1 \Rightarrow a_0 = 1/3[/tex], når [tex]\rho[/tex] er tredimensjonal.

Da ser vi fort at [tex]\rho = \frac{1}{3} \bf{1}_3 \Rightarrow[/tex] [tex]\rho^2 = \frac{1}{9} \bf{1}_3 \neq \rho[/tex]

Så for upolarisert lys er [tex]\rho[/tex] en mixed state.

Men jeg kommer meg ikke videre når lyset polariseres. Har hatt Jonesmatriser etc. i optikk, men ser ikke helt hvordan det fungerer i kvantemekanikk.
Ser for meg at polarisasjonsmatrisen blir en eller annen kombinasjon av tilstandene [tex]|1>[/tex] og [tex]|2>[/tex], noen som vet?

[mikki155]

Jeg tenkte litt mer på den, hadde vært fint om noen kunne bekrefte/avkrefte om dette er riktig:

I likhet med spin-1/2 system kan vi si at fotonet har like stor sannsynlighet å være polarisert i begge retninger. Så tetthetsmatrisen kan da skrives som:

[tex]\rho = \sum_{n = 1}^{2} p_n |n><n| = \frac{1}{2} |1><1| + \frac{1}{2} |2><2|[/tex] fra spektralteoremet.

Ser fort at [tex]Tr[\rho] = 1[/tex], og [tex]\rho = \frac{1}{4} |1><1| + \frac{1}{4} |2><2| \Rightarrow Tr[\rho^2] = 1/2 \neq Tr[\rho][/tex].

Så [tex]\rho[/tex] er også her en mixed tilstand.

[mikki155]

Korreksjon:

Den siste er en pure state, siden vi projiserer på én av tilstandene [tex]|1><1|[/tex] eller [tex]|2><2|[/tex]. Med andre ord, polarisasjonsfilteret slipper gjennom den ene tilstanden og ikke den andre - i likhet med vertikale/horisontale polarisasjonsfiltre i klassisk optikk.