Førsteordens, ikke-homogen rekursiv relasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Førsteordens, ikke-homogen rekursiv relasjon

Innlegg Gurgen Irakli » 20/11-2016 23:45

Hei.

Jeg har følgende oppgave: "Løs rekursjonsrelasjonen [tex]R_0 = 0, R_n = R_{n-1} + n^3 + 2n^2 + 1[/tex] (for [tex]n > 0[/tex]). Finn en lukket formel!".

Det jeg har gjort er:

[tex]a_n - a_{n-1}= f(n) \\

a_n = a_0 + \sum_{i=1}^{n}(i^3 + 2 i^2 + 1) \\

a_n = 0 + \sum_{i=1}^{n}i^3 + 2 \sum_{i=1}^{n}i^2 + \sum_{i=1}^{n}1[/tex]

Disse summene er kjente gjennom Faulhabers formel (se http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html), derfor fortsetter jeg:

[tex]= \frac{1}{4}(n^4+2n^3+n^2) + 2 \cdot \frac{1}{6} (2n^3+3n^2+n) + n \\
= \frac{3n^4+6n^3+3n^2+4 \cdot 2n^3+ 4 \cdot 3n^2 + 4n +12n}{12} \\
= \frac{n}{12}(3n^3+14n^2+15n+16)[/tex]

Har du forslag til hvordan jeg kan løse dette annerledes? Det kjennes vel kanskje litt lettvint kun å henvise til at summene er kjente. Mange takk.
Gurgen Irakli offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 1
Registrert: 20/11-2016 23:20

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 14 gjester