The d.c.c.

[Gustav]

Men er det noen fine sammenhenger mellom $\dim_k(k[x]/(x^4))$=4 og Krull-dimensjonen, $\dim(k[x]/(x^4))$?

Ja, for en R-modul M så er $dim_{R}(M)=dim(R/Ann_R (M))$

Og $Ann_R(M)=(0)$ i vårt tilfelle, så $dim(R/Ann_R (M))=dim(R)$. Siden R er en kropp, så er dim(R)=0. Så lett var det, gitt:D

https://en.wikipedia.org/wiki/Krull_dim ... f_a_module

[Kake med tau]

Men er det noen fine sammenhenger mellom $\dim_k(k[x]/(x^4))$=4 og Krull-dimensjonen, $\dim(k[x]/(x^4))$?

Ja, for en R-modul M så er $dim_{R}(M)=dim(R/Ann_R (M))$

Og $Ann_R(M)=(0)$ i vårt tilfelle, så $dim(R/Ann_R (M))=dim(R)$. Siden R er en kropp, så er dim(R)=0. Så lett var det, gitt:D

https://en.wikipedia.org/wiki/Krull_dim ... f_a_module

Den var kjempefin!

[CharlieEppes]

For å avslutte denne tråden kan en av dere vennligst summere opp det dere har kommet frem til på en pedagogisk måte?
Litt usikker på om jeg klarer å trekke noe nyttig av alt dette.

[Kake med tau]

For å avslutte denne tråden kan en av dere vennligst summere opp det dere har kommet frem til på en pedagogisk måte?
Litt usikker på om jeg klarer å trekke noe nyttig av alt dette.

Vi har kjeden som du fant: [tex](0)\subset (\bar x^3)\subset (\bar x^2) \subset (\bar x) \subset (1)[/tex], og dette er greit for den er endelig (den slutter), men hva med idealer som f.eks [tex](x+1), (x^2+4)[/tex] osv? (Skriver [tex]x[/tex] istedet for [tex]\bar x[/tex], siden det går raskere i LaTeX)

Påstand: Alle idealer på formen [tex](f(x)+u)=(1)[/tex], hvor [tex]0\neq u \in k[/tex]. Dette kan vi se hvis vi ser på idealene, f. eks:

• [tex](u+ax)=(u+ax, x^3(u+ax))=(u+ax, ux^3)=(u+ax, x^3)[/tex]
  [tex](u+ax, x^3)=(u+ax, ux^2+uax^3, x^3)=(u+ax, x^2)=(u+ax, ux+ax^2, x^2)=(u+ax, x)[/tex]
  [tex](u+ax, x)=(u)=(1)[/tex]
• [tex](u+ax+bx^2)=\dots =(u)=1[/tex]
• [tex]\dots[/tex]

Dette betyr at alle idealer [tex]I\neq(1)[/tex] er inne i [tex](x)[/tex], så har du en kjede med [tex]I[/tex] i, som vil tilslutt bli [tex](0)[/tex]


Den andre metoden handler om dimensjoner, og da er det et teorem som sier at hvis [tex]A[/tex] er en noethersk ring og [tex]\dim(A)=0[/tex] så er [tex]A[/tex] artinsk (dvs. har D. C. C.). plutarco fant et fint teorem som sier at for en [tex]R[/tex]-modul [tex]M[/tex] så er [tex]\dim_R(M)=\dim\left ( \frac{R}{Ann_R(M)} \right )[/tex], da er resten plug & play og vi får [tex]\dim_k\left ( \frac{k[x]}{(x^4)} \right )=\dim\left ( \frac{k}{(0)} \right )=0[/tex]

[Brahmagupta]

Men er det noen fine sammenhenger mellom $\dim_k(k[x]/(x^4))$=4 og Krull-dimensjonen, $\dim(k[x]/(x^4))$?

Ja, for en R-modul M så er $dim_{R}(M)=dim(R/Ann_R (M))$

Og $Ann_R(M)=(0)$ i vårt tilfelle, så $dim(R/Ann_R (M))=dim(R)$. Siden R er en kropp, så er dim(R)=0. Så lett var det, gitt:D

https://en.wikipedia.org/wiki/Krull_dim ... f_a_module

Såvidt jeg kan se gir artikkelen denne formelen kun som en definisjon. Det står ingenting om at denne dimensjonen som
modul skal sammenfalle med Krull dimensjonen som ring, hvis $M$ også skulle ha denne strukturen.
For eksempel ta $k[x]$. Fra definisjonen i artikkelen får vi fremdeles at Krull dimensjonen som $k$ modul skal være $0$,
men som ring har $k[x]$ Krull dimensjon $1$ (for $k$ en kropp).

En naturlig måte å vise at $k[x]/(x^4)$ har Krull dimensjon $0$ er å bruke korrespondansen mellom primidealer i $k[x]/(x^4)$
og primidealer i $k[x]$ som inneholder $(x^4)$. Hvis $\mathfrak{p}\supset (x^4)$ så må $\mathfrak{p}\supset \sqrt{(x^4)}=(x)$,
men $(x)$ er maksimalt i $k[x]$ slik at $\mathfrak{p}=(x)$. Dermed er bildet av $(x)$ det eneste primidealet i $k[x]/(x^4)$
og dimensjonen er $0$. Mer generelt gir et tilsvarende argument at for $f\in k[x]$ irredusibelt så er $k[x]/(f^n)$
Artinsk.

[Gustav]

Såvidt jeg kan se gir artikkelen denne formelen kun som en definisjon. Det står ingenting om at denne dimensjonen som
modul skal sammenfalle med Krull dimensjonen som ring, hvis $M$ også skulle ha denne strukturen.
For eksempel ta $k[x]$. Fra definisjonen i artikkelen får vi fremdeles at Krull dimensjonen som $k$ modul skal være $0$,
men som ring har $k[x]$ Krull dimensjon $1$ (for $k$ en kropp).

Ja, enig. Da jeg brukte denne definisjonen antok jeg at k[x]/(x^4) var betraktet som en k-modul.