CharlieEppes skrev:For å avslutte denne tråden kan en av dere vennligst summere opp det dere har kommet frem til på en pedagogisk måte?
Litt usikker på om jeg klarer å trekke noe nyttig av alt dette.
Vi har kjeden som du fant: [tex](0)\subset (\bar x^3)\subset (\bar x^2) \subset (\bar x) \subset (1)[/tex], og dette er greit for den er endelig (den slutter), men hva med idealer som f.eks [tex](x+1), (x^2+4)[/tex] osv? (Skriver [tex]x[/tex] istedet for [tex]\bar x[/tex], siden det går raskere i LaTeX)
Påstand: Alle idealer på formen [tex](f(x)+u)=(1)[/tex], hvor [tex]0\neq u \in k[/tex]. Dette kan vi se hvis vi ser på idealene, f. eks:
- [tex](u+ax)=(u+ax, x^3(u+ax))=(u+ax, ux^3)=(u+ax, x^3)[/tex]
[tex](u+ax, x^3)=(u+ax, ux^2+uax^3, x^3)=(u+ax, x^2)=(u+ax, ux+ax^2, x^2)=(u+ax, x)[/tex]
[tex](u+ax, x)=(u)=(1)[/tex]
- [tex](u+ax+bx^2)=\dots =(u)=1[/tex]
- [tex]\dots[/tex]
Dette betyr at alle idealer [tex]I\neq(1)[/tex] er inne i [tex](x)[/tex], så har du en kjede med [tex]I[/tex] i, som vil tilslutt bli [tex](0)[/tex]
Den andre metoden handler om dimensjoner, og da er det et teorem som sier at hvis [tex]A[/tex] er en noethersk ring og [tex]\dim(A)=0[/tex] så er [tex]A[/tex] artinsk (dvs. har
D. C. C.).
plutarco fant et fint teorem som sier at for en [tex]R[/tex]-modul [tex]M[/tex] så er [tex]\dim_R(M)=\dim\left ( \frac{R}{Ann_R(M)} \right )[/tex], da er resten plug & play og vi får [tex]\dim_k\left ( \frac{k[x]}{(x^4)} \right )=\dim\left ( \frac{k}{(0)} \right )=0[/tex]
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford