vis integral over Z - heltall

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Innlegg: 141
Registrert: 01/10-2014 17:26

Show that [tex]\tau = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C}[/tex]
is integral over $\mathbb{Z}$. Is $\frac{\sqrt{3}}{2}$ integral over $\mathbb{Z}$?

for at $\tau$ skal være integral over $\mathbb{Z}$ så må vi ha at:
for et monisk polynom;
[tex]f(Y) \in \mathbb{Z}[Y], f(Y) = Y^n + a_{n-1}Y^{n-1} + ... + a_{0}[/tex]
så er
[tex]f(\tau) = 0[/tex].

Var ikke helt sikker på om det finnes en bedre/lettere måte, men jeg prøvde først med det første polynomet her,
også så jeg jo fort at det neste måtte være slik:
$\tau^2 - \tau = -1 \implies \tau^2 -\tau + 1 = 0$

neste:
[tex]\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies f(\alpha) = \alpha^2 - \alpha = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 2)}{4} \notin \mathbb{Z}[/tex]
Men er dette nok til å si at det ikke finnes noe polynom $f \in \mathbb{Z}[Y]$ som gir $f(\alpha ) = 0$ ?
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Fibonacci92
Abel
Abel
Innlegg: 665
Registrert: 27/01-2007 22:55

Produktet av to heltall er også heltall.

Så om $\frac{\sqrt{3}}{2}$ hadde vært heltall ville $(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$ vært et heltall.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Alternativt:

Anta at $\frac{\sqrt{3}}{2}$ er integral over $\mathbb{Z}$. Da fins et polynom $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ der $a_i\in\mathbb{Z}$ slik at

$(\frac{\sqrt{3}}{2})^n+a_{n-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}+...+a_1\frac{\sqrt{3}}{2}+a_0=0$

Ganger med $2^n$:

$(\sqrt{3})^n+2a_{n-1}(\sqrt{3})^{n-1}+...+2^{n-1}a_1\sqrt{3}+2^na_0=0$

$(\sqrt{3})^k=\sqrt{3}\sqrt{3}...=3^{\frac{k}{2}}$ er heltall hvis k er partall, og $3^{\frac{k-1}{2}}\sqrt{3}$ hvis k er odde.

La først $k$ være partall:

Vi kan gruppere leddene slik:

$(3^{\frac{k}{2}}+2\sum b_n ) + (\sum c_n)\sqrt{3}=0$ der $b_n,c_n$ er heltall.

Lemma: $x+y\sqrt{3}=0$ der $x,y$ heltall impliserer at $x=y=0$ siden $\sqrt{3}$ er irrasjonalt, så dermed må

$3^{\frac{k}{2}}+2\sum b_n =0$, men da må $2$ dele $3$, så det gir motsigelsen.

Samme type argumentasjon for k odde.
Svar