S^-1A lokalisering

[CharlieEppes]

Let $A = \mathbb{Z}$ and $S = \{1, 5, 5^2, 5^3, ... \}$.
What are the elements of the localization $S^{−1}A = \mathbb{Z}_{(5)}$?
What are the prime ideals in $\mathbb{Z}_{(5)}$? What are the ideals in $\mathbb{Z}_{(5)}$?

Her trenger jeg hjelp med å få orden, roter frem og tilbake med dette. (Finn frem t-skjeen).
jeg tror $S^{-1}A = \{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z} , b \in S \}$
men er som sakt usikker. Mener at det er en korrespondanse mellom prim idealer i $A$ og $S^{-1}$, P prim ideal i A og dersom $P \cap S = \empty $.
så er $S^{-1}P$ er prim i $S^{-1}A$.
er ikke sikker på noe av dette, og siste del klarte jeg ikke få frem noe..

[Gustav]

Let $A = \mathbb{Z}$ and $S = \{1, 5, 5^2, 5^3, ... \}$.
What are the elements of the localization $S^{−1}A = \mathbb{Z}_{(5)}$?
What are the prime ideals in $\mathbb{Z}_{(5)}$? What are the ideals in $\mathbb{Z}_{(5)}$?

Her trenger jeg hjelp med å få orden, roter frem og tilbake med dette. (Finn frem t-skjeen).
jeg tror $S^{-1}A = \{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z} , b \in S \}$
men er som sakt usikker. Mener at det er en korrespondanse mellom prim idealer i $A$ og $S^{-1}$, P prim ideal i A og dersom $P \cap S = \empty $.
så er $S^{-1}P$ er prim i $S^{-1}A$.
er ikke sikker på noe av dette, og siste del klarte jeg ikke få frem noe..

Blir ikke $S^{−1}A = \mathbb{Z}_{5}$ ? Altså lokalisering i p=5.

Ja, det er riktig at det er en en-til-en korrespondanse mellom primidealene i $S^{-1}A$ og primidealene i $A$ som er disjunkte med $S$.

Alle idealer i $S^{-1}A$ er ekstensjonen av et ideal i $A$, så idealene i $S^{-1}A$ er på formen $S^{-1}I$ der $I$ er et ideal i $A$.

[CharlieEppes]

Blir ikke $S^{−1}A = \mathbb{Z}_{5}$ ? Altså lokalisering i p=5.

Jo riktig, brukte feil notasjon
man bruker vell $\mathbb{Z}_{(p)}$ dersom settet $S=A$\$P$

Ja, det er riktig at det er en en-til-en korrespondanse mellom primidealene i $S^{-1}A$ og primidealene i $A$ som er disjunkte med $S$.
Alle idealer i $S^{-1}A$ er ekstensjonen av et ideal i $A$, så idealene i $S^{-1}A$ er på formen $S^{-1}I$ der $I$ er et ideal i $A$.

okei, var ikke helt sikker på om den ekstensjons avbildningen ($e$) traff alle idealene i $S^{-1}A$

[Gustav]

$\mathbb{Z}_{(5)}$ er vel lokaliseringen i idealet $(5)$ ja, så det blir litt annerledes, men det står vel i boka.

Hvis du ser på proposisjonen 6.7 b) her http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathma ... pter-6.pdf

så er alle idealer $I$ i $S^{-1}A$ ekstensjonen av kontraksjonen av $I$.

[CharlieEppes]

Ja det stod noe lignende i Reid, men ble bare forvirret når jeg leste det. Stod litt bedre på linken.

Når vi er inne på lokalisasjonen i (5) (som er neste oppgave)
Da er vell (5) eneste primidealet i A som oppfyller $I \cap S = \empty $
siden $S$ er definert som $S = A \setminus (5)$ ?
$\implies $ $e((5))$ er eneste primidealet i $S^{-1}A \implies$ at det også er maksimalt, eller?
og har vi fremdeles Idealer i $S^{-1}A$ er definert som $e(I)$ for $I$ ideal i A?

[Kake med tau]

Det er to forskjellige notasjoner som er ute og går:

• [tex]\mathbb{Z}_5[/tex] som ofte betyr ringen [tex]\frac{\mathbb{Z}}{5\mathbb{Z}}[/tex] (modulo 5)
• [tex]\mathbb{Z}_5=\mathbb{Z}\left [\frac{1}{5}\right]=S^{-1}\mathbb{Z}[/tex], som antakeligvis er det som menes i oppgava. Hvor [tex]S=\left \{ 1, 5, 5^2, \dots \right \}[/tex]

Grunnen til at [tex]\mathbb{Z}_5[/tex] brukes, tror jeg er fordi [tex]A_f[/tex] brukes generelt om [tex]S^{-1}A[/tex] når [tex]S=\left \{ 1, f, f^2, \dots \right \}[/tex].

Forskjellen mellom [tex]\mathbb{Z}_5[/tex] og [tex]\mathbb{Z}_{(5)}[/tex] er:

• I [tex]\mathbb{Z}_5[/tex] kan du kun "dele" på [tex]5^n, n=0, 1, 2, \dots[/tex]. F. eks [tex]\frac{2}{5}\in\mathbb{Z}_5[/tex], men [tex]\frac{2}{3}\notin\mathbb{Z}_5[/tex]
• I [tex]\mathbb{Z}_{(5)}[/tex] kan du "dele" på alt bortsett fra [tex]5^n, n=0, 1, 2, \dots[/tex]. (Den lille [tex](5)[/tex] betyr [tex]S=\mathbb{Z}\setminus(5)[/tex]). F. eks [tex]\frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{5}{4}, \dots \in\mathbb{Z}_{(5)}[/tex], men [tex]\frac{2}{5}\notin \mathbb{Z}_{(5)}[/tex]

Så på sett (no pun intended) og vis er [tex]\mathbb{Z}_5[/tex] og [tex]\mathbb{Z}_{(5)}[/tex] motsetninger av hverandre.


Som plutarco skriver er idealene i [tex]\mathbb{Z}_{5}[/tex] på formen [tex]S^{-1}I[/tex] hvor [tex]I\subset\mathbb{Z}[/tex]

F. eks er [tex]S^{-1}(2)[/tex] (vet ikke hvordan man vanligvis bruker notasjonen her) et ideal i [tex]\mathbb{Z}_{5}[/tex] siden:

• Hvis [tex]\frac{2a}{5}, \frac{2b}{5}\in \mathbb{Z}_{5}[/tex] så er [tex]\frac{2a}{5}+\frac{2b}{5^2}=\frac{2(5a+b)}{5^2}\in \mathbb{Z}_{5}[/tex]
• Hvis [tex]\frac{2a}{5}\in \mathbb{Z}_{5}[/tex] så er [tex]\frac{2a}{5}\cdot\frac{c}{5^n}=\frac{2ac}{5^{n+1}}\in \mathbb{Z}_{5}[/tex]
• [tex]\frac{0}{1}\in \mathbb{Z}_{5}[/tex]

Vi har også at [tex]S^{-1}(2)\neq S^{-1}(1)=\mathbb{Z}_5[/tex], siden da måtte [tex]\frac{2a}{5}[/tex] ha en invers, og da måtte [tex]\frac{5}{2a}\in \mathbb{Z}_5[/tex], men dette går ikke siden vi bare kan ha potenser av [tex]5[/tex] i nevneren og [tex]2a\neq 5^n[/tex] for [tex]n=1, 2, 3, \dots[/tex]

Bonusspørsmål:

• Er [tex]S^{-1}(3)[/tex] et ideal i [tex]\mathbb{Z}_5[/tex]?
• Er [tex]S^{-1}(5)[/tex] et ideal i [tex]\mathbb{Z}_5[/tex]?

Greier du disse to så vet du hvordan alle primidealene ser ut

(Edit: Beklager jeg var litt for kjapp med dette svaret, glemte å sjekke etter om du hadde fått svar!)

[CharlieEppes]

Bonusspørsmål:

• Er [tex]S^{-1}(3)[/tex] et ideal i [tex]\mathbb{Z}_5[/tex]?
• Er [tex]S^{-1}(5)[/tex] et ideal i [tex]\mathbb{Z}_5[/tex]?

Greier du disse to så vet du hvordan alle primidealene ser ut

(Edit: Beklager jeg var litt for kjapp med dette svaret, glemte å sjekke etter om du hadde fått svar!)

(tar ikke med hele quoten, #eviglang)
Dette var dødsbra, gav en kjempe oppklaring

svar(EDIT):
$S^{-1}(3)$ er i $\mathbb{Z}_{5}$, siden$\frac{3a}{5} \in \mathbb{Z}_{5}$ og $\frac{3b}{5^m} \in \mathbb{Z}_{5}$ og i tillegg
$\frac{3a}{5} + \frac{3b}{5^m} = \frac{3(5^na + b)}{5^{n+1}} \in \mathbb{Z}_{5}$

$S^{-1}(5)$ er ikke i $\mathbb{Z}_{5}$ siden $\frac{5a}{5} = \frac{a}{1} \notin \mathbb{Z}_{5}$

stemmer?

[Kake med tau]

(tar ikke med hele quoten, #eviglang)
Dette var dødsbra, gav en kjempe oppklaring

Så fint!

svar:
$(3)$ er i $\mathbb{Z}_{5}$, siden$\frac{3a}{5} \in \mathbb{Z}_{5}$ og $\frac{3b}{5^m} \in \mathbb{Z}_{5}$ og i tillegg
$\frac{3a}{5} + \frac{3b}{5^m} = \frac{3(5^na + b)}{5^{n+1}} \in \mathbb{Z}_{5}$

$(5)$ er ikke i $\mathbb{Z}_{5}$ siden $\frac{5a}{5} = \frac{a}{1} \notin \mathbb{Z}_{5}$

stemmer?

• [tex](3)[/tex] er et ideal, stemmer! (Siden du kan skrive alle elementene på formen [tex]\frac{3a}{5^n}\in S^{-1}(3)[/tex]
• Husk at [tex]S=\left \{ 1, 5, 5^2, \dots \right \}[/tex] så det er fullt lovlig å ha [tex]\frac{a}{1}\in \mathbb{Z}_5[/tex], men du har truffet poenget da du sa at hvis vi ser på [tex]S^{-1}(5)[/tex] så vil det inneholde [tex]\frac{5a}{1}\cdot \frac{1}{5}=\frac{a}{1}\in S^{-1}(5)[/tex]. Enda mer spesifikt, [tex]\frac{5}{1}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{1}\in S^{-1}(5)[/tex], så [tex]S^{-1}(5)=S^{-1}(1)=\mathbb{Z}_5[/tex]. Derfor ser vi at [tex]S^{-1}(5)[/tex] ikke er et primideal i [tex]\mathbb{Z}_5[/tex], og da ser du sikkert at dette skjer fordi [tex](5)\cap S\neq\emptyset[/tex], men det fungerer for alle andre primideal [tex]P\in Spec(\mathbb{Z})[/tex], siden [tex]P\cap \mathbb{Z}=\emptyset[/tex]

(EDIT: Ser jeg glemte å si at [tex]n=0, 1, 2, 3, \dots[/tex] istedet for [tex]n=1, 2, 3, \dots[/tex])

[CharlieEppes]

ja glemte at $\frac{a}{1}$ var i $\mathbb{Z}_{5}$, altså $1 \in S$ (Det er vell en del av definisjonen på et multiplikativt set; at $1 \in S $)

Vet ikke om du så det jeg skrev i et tidligere svar om hvordan dette er i lokaliseringen der $S = A \setminus (5)$,
altså $\mathbb{Z}_{(5)}$

[Kake med tau]

Vet ikke om du så det jeg skrev i et tidligere svar om hvordan dette er i lokaliseringen der $S = A \setminus (5)$,
altså $\mathbb{Z}_{(5)}$

Ah, riktig! Hadde glemt den.

Joda, det stemmer at [tex](5)\cap \left \{ A\setminus(5)\right \}=\emptyset[/tex], og da er [tex](5)[/tex] det eneste primidealet dette gjelder for, siden hvis [tex]p\neq 5[/tex] er et primtall så er hverken [tex](p)\subseteq (5)[/tex] eller [tex](5)\subseteq (p)[/tex], så da vil [tex](p)\cap\left \{ A\setminus (5)\right \}\neq \emptyset[/tex]

[CharlieEppes]

er idealer i $S^{-1}A$ fremdeles gitt ved
$I$ ideal i A , $e(I)$ ideal i $S^{-1}A$
men da har vi jo at $\frac{1}{1}$ er i alle idealer utenom $S^{-1}(5)$ (usikker på notasjon)
er da alle idealer $I \in A$ utenom $(5) \in A$ slik at $S^{-1}I = S^{-1}A$? dvs. alle idealer $I \in A$ slik at $I \cap S \neq \empty$

[Kake med tau]

er idealer i $S^{-1}A$ fremdeles gitt ved
$I$ ideal i A , $e(I)$ ideal i $S^{-1}A$
men da har vi jo at $\frac{1}{1}$ er i alle idealer utenom $S^{-1}(5)$ (usikker på notasjon)
er da alle idealer $I$ utenom $(5)$ slik at $S^{-1}I = S^{-1}A$ ?

Sehr gut! Og dette gir jo også mening, siden alle ikke-units kun må være på formen [tex]\frac{5a}{b}[/tex], hvor [tex]\frac{a}{b}\in\mathbb{Z}_{(5)}[/tex]. Var de ikke på denne formen hadde de hatt en invers, og da ville, som du sa, [tex]e(I)=(1)[/tex].

[CharlieEppes]

Så flott!!
Fyrer løs med en ny en jeg
3. Let $A = k[x]$ where $k$ is algebraically closed.
a. Let $S = {1,x,x,x^2,...}$(antar her at ..x,x,.. er en typo). What are the elements of $S^{−1}A = k[x]_{x}$? What are the prime ideals in $k[x]_{x}$?
b. Let $S = A \setminus (x)$. What are the elements of $S^{−1}A = k[x]_{(x)}$? What are the prime ideals in this ring?

Elementene av $k[x]_{x}$ i oppgave a) antar jeg er de samme man har i $k[x,x^{-1}]$
men sliter litt med prim idealene her...
prim idealene i $k[x]$ er ${(0)} \cup {(f) : f irredusibel}$
$(0) \cap S = \empty$ og $(x) \cap S = \empty$, men er $(x - \alpha) \cap S \neq \empty$ ?

[Kake med tau]

Elementene av $k[x]_{x}$ i oppgave a) antar jeg er de samme man har i $k[x,x^{-1}]$

Jepp! Og det er fordi [tex]k\left [ x \right ]_x\cong\frac{k[x,y]}{(xy-1)}\cong k[x, x^{-1}][/tex]

men sliter litt med prim idealene her...
prim idealene i $k[x]$ er ${(0)} \cup {(f) : f irredusibel}$
$(0) \cap S = \empty$ og $(x) \cap S = \empty$, men er $(x - \alpha) \cap S \neq \empty$ ?

• [tex](0)\cap S=\emptyset[/tex], jepp! ([tex]0\notin S[/tex])
• [tex](x)\cap S=\emptyset[/tex], tror kanskje du mente [tex](x)\cap S\neq\emptyset[/tex] her? For [tex]x, x^2, x^3, \dots[/tex] er alle i både [tex]S[/tex] og [tex](x)[/tex]
• Hvis [tex](x-\alpha)\cap S\neq \emptyset[/tex], så betyr det at noe fra [tex]S[/tex] er inni idealet [tex](x-\alpha)[/tex], men [tex]1\notin (x-\alpha)[/tex], og [tex]x, x^2, x^3, \dots \notin (x-\alpha)[/tex]. (Det stemmer at du har elementer inni [tex](x-\alpha)[/tex] som er delelig på [tex]x[/tex], f. eks [tex]x^2-\alpha x=x(x-\alpha)[/tex], men [tex]x[/tex] er ikke "alene" inni [tex](x-\alpha)[/tex])

[CharlieEppes]

men sliter litt med prim idealene her...
prim idealene i $k[x]$ er ${(0)} \cup {(f) : f irredusibel}$
$(0) \cap S = \empty$ og $(x) \cap S = \empty$, men er $(x - \alpha) \cap S \neq \empty$ ?

• [tex](0)\cap S=\emptyset[/tex], jepp! ([tex]0\notin S[/tex])
• [tex](x)\cap S=\emptyset[/tex], tror kanskje du mente [tex](x)\cap S\neq\emptyset[/tex] her? For [tex]x, x^2, x^3, \dots[/tex] er alle i både [tex]S[/tex] og [tex](x)[/tex]
• Hvis [tex](x-\alpha)\cap S\neq \emptyset[/tex], så betyr det at noe fra [tex]S[/tex] er inni idealet [tex](x-\alpha)[/tex], men [tex]1\notin (x-\alpha)[/tex], og [tex]x, x^2, x^3, \dots \notin (x-\alpha)[/tex]. (Det stemmer at du har elementer inni [tex](x-\alpha)[/tex] som er delelig på [tex]x[/tex], f. eks [tex]x^2-\alpha x=x(x-\alpha)[/tex], men [tex]x[/tex] er ikke "alene" inni [tex](x-\alpha)[/tex])

ja ser jeg dreit meg litt ut på $=$,$\neq$, men tror du skjønte hva jeg mente
glemte og legge til på den siste at $(x- \alpha) \cap S \neq \empty$ kun når $\alpha = 0$
burde skrevet: $(x- \alpha) \cap S = \empty, \text{for } \alpha \neq 0$